Числовой ряд.
Среди числ. рядов выделяют знакопостоянные, знакочередующиеся, знакопеременные.
Частичной суммой ряда соответсв. номеру n наз. сумма n первых его слагаемых.
Частичная сумма.
Ряд a n наз. сходящимся, если последовательность частичных сумм для этого ряда имеет предел, т.е. если сущ-т число . Это число наз.суммой ряда.
38. Признаки сходимости ряда
Пусть задана бесконечная последовательность чисел . Выражение. наз-ют числовым рядом. При этом числа наз. членами ряда.
Числовой ряд часто записывают в виде. Теорема (необходимый признак сходимости ряда): если ряд сходится, то его n-й член стремится к нулю при неограниченном возрастании n.
Следствие. Если n-й член ряда не стремится к нулю при , то ряд расходится.
Признак Даламбера - признак сходимости числовых рядов, установлен Жаном д’Аламбером в 1768 г.
Если для числового
ряда
существует
такое числоq, что
0 Определение.
Частной
суммой числового ряда
называется
сумма.
Числовой ряд называется
сходящимся
,
если существует предел,
при этом
S
называется
суммой ряда.
Теорема
.
Числовой ряд сходится тогда и
только тогда, когда для любого существует
такое,
что для всехm,n
><. Доказательство
. Заметим, что
.
После этого утверждение превращается
в критерий
Коши сходимости последовательности
. Теорема
. Если ряд сходится,
то. Доказательство
. Из свойств пределов
следует, что .
Отсюда следует, что. Геометрический
ряд Обобщеный
гармонический ряд В
частности, при к=1 получаем гармонический
ряд Эталонные
ряды, т.е. разложения элементарных
функций, можно использовать для получения
рядов тех же функций, но сложного
аргумента. Пусть
функции Un(x),n∈N,
определены в области D. Выражение U
1
(x
)
+
U
2
(x
)
+… +
U
n
(x
)+…=
U
n
(x
),
где х
∈
D
,
наз.
функциональным
рядом.
Каждому значению x 0 ∈D
соответствует числовой ряд
U
n
(x
0
)
.
Этот ряд может быть сходящимся или
расходящимся. Если для x
0
∈
D
числовой ряд
U
n
(x
0
)
сходится, то говорят, чтo
функциональный ряд сходится в точке
x
0
,
и точку
x
0
наз.
точкой
сходимости
.Если
функциональный ряд сходится в каждой
точке x
∈
E
⊂
D
,
то этот ряд наз. сходящимся
на множестве Е
,
а множество Е
наз. областью сходимости ряда. Если
множество Е
пусто, то ряд расходится в каждой точке
множества D
. Областью сходимости
степенного ряда называется множество
всех значений переменной х, при которых
соответствующий числовой ряд сходится.
Ряд вида а 0
+ а 1
х + а 2
х 2
+ … а n
х n
+ … =
называетсястепенным
рядом,
а –
некот. числа, х – переменная. Коэффициентами
степенного
ряда называются числа а 0
, а 1
, … , а n . Формулой Тейлора
для функции f(x)
в окрестности точки х называется
многочлен Р n (х)
= f(х 0)
+Остаточным
членом формулы Тейлора
называется
последнее слагаемое в формуле Тейлора R n
(x)=
=f(x)
– P n
(x) Т.о., многочлен
Тейлора Р n (х)
служит приближением функции f(х).
Оценкой этого приближения служит
остаточный член формулы Тейлора R n (х). Формулой Маклорена
для функции f(х)
называется ее формула Тейлора при х 0
= 0: f(x)=
f(0)
+
где с – некоторая
точка из интервала (0, х). Последовательность - высокоупорядоченный числовой набор, образованный по заданному закону. Термин «ряд» обозначает результат сложения членов соответствующей ему последовательности. Для различных числовых последовательностей мы можем найти сумму всех ее членов или общее число элементов до заданного предела. Под этим термином понимается заданный набор элементов числового пространства. Каждый математический объект задается определенной формулой для определения общего элемента последовательности, а для большинства конечных числовых наборов существуют простые формулы определения их суммы. Наша программа представляет собой сборник из 8 онлайн-калькуляторов, созданных для вычисления сумм наиболее популярных числовых наборов. Начнем с самого простого - натурального ряда, которым мы пользуемся в повседневной жизни для пересчета предметов. Когда школьники изучают числа, они первым делом учатся считать предметы, например, яблоки. Натуральные числа естественным образом возникают при счете предметов, и каждый ребенок знает, что 2 яблока - это всегда 2 яблока, не больше и не меньше. Натуральный ряд задается простым законом, который выглядит как n. Формула гласит, что n-ный член числового набора равен n: первый - 1, второй - 2, четыреста пятьдесят первый - 451 и так далее. Результат суммирования n первых натуральных чисел, то есть начинающихся от 1, определяется по простой формуле: ∑ = 0,5 n × (n+1). Для вычислений вам потребуется выбрать в меню калькулятора формулу натурального ряда n и ввести количество членов последовательности. Давайте вычислим сумму натурального ряда от 1 до 15. Указав n = 15, вы получите результат в виде самой последовательности: 1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9, 10, 11, 12, 13, 14, 15 и суммы натурального ряда, равной 120. Легко проверить корректность вычислений при помощи выше приведенной формулы. Для нашего примера результат сложения будет равен 0,5 × 15 × 16 = 0,5 × 240 = 120. Все верно. Квадратичная последовательность образуется из натуральной, путем возведения каждого члена в квадрат. Ряд квадратов формируется по закону n 2 , следовательно, n-ный член последовательности будет равняться n 2: первый - 1, второй - 2 2 = 4, третий - 3 2 = 9 и так далее. Результат суммирования начальных n элементов квадратичной последовательности вычисляется по закону: ∑ = (n × (n+1) × (2n+1)) / 6. При помощи этой формулы вы легко можете высчитать сумму квадратов от 1 до n для сколько угодно большого n. Очевидно, что эта последовательность также бесконечна и с ростом n будет расти и общее значение числового набора. В этом случае вам потребуется выбрать в меню программы закон квадратной последовательности n 2 , после чего выбрать значение n. Давайте рассчитаем сумму первых десяти членов последовательности (n= 10). Программа выдаст саму последовательность: 1, 4, 9, 16, 25, 36, 49, 64, 81, 100 а также сумму, равную 385. Ряд кубов представляет собой последовательность натуральных чисел, возведенных в куб. Закон образования общего элемента последовательности записывается как n 3 . Таким образом, первый член ряда равен 1 3 = 1, второй - 2 3 = 8, третий - 3 3 = 27 и так далее. Сумма первых n элементов кубического ряда определяется по формуле: ∑ = (0,5 n × (n+1)) 2 Как и в предыдущих случаях, элементы числового пространства стремятся в бесконечность, и чем больше количество слагаемых, тем больше результат суммирования. Для начала выберите в меню калькулятора закон кубического ряда n 3 и задайте любое значение n. Давайте определим сумму ряда из 13 членов. Калькулятор выдаст нам результат в виде последовательности: 1, 8, 27, 64, 125, 216, 343, 512, 729, 1000, 1331, 1728, 2197 и суммы соответствующего ей ряда, равного 8281. Множество натуральных чисел содержит подмножество нечетных элементов, то есть тех, которые не делятся на 2 без остатка. Последовательность нечетных чисел определяется выражением 2n - 1. Согласно закону, первый член последовательности будет равен 2×1 − 1 = 1, второй - 2×2 − 1 = 3, третий - 2×3 − 1 = 5 и так далее. Сумма начальных n элементов нечетного ряда вычисляется по простой формуле: Рассмотрим пример. Сначала выберете в меню программы закон образования нечетного ряда 2n−1, после чего введите n. Давайте узнаем первые 12 членов нечетной ряда и его сумму. Калькулятор мгновенно выдаст результат в виде набора чисел: 1, 3, 5, 7, 9, 11, 13, 15, 17, 19, 21, 23, а также суммы нечетного ряда, который равен 144. И действительно, 12 2 = 144. Все верно. Прямоугольные числа относятся к классу фигурных чисел, которые представляют собой класс числовых элементов, необходимых для построения геометрических фигур и тел. К примеру, чтобы построить треугольник необходимо 3, 6 или 10 точек, квадрат - 4, 9 или 16 точек, а для выкладывания тетраэдра потребуется 4, 10 или 20 шаров или кубов. Прямоугольники легко построить при помощи двух последовательных чисел, например, 1 и 2, 7 и 8, 56 и 57. Прямоугольные же числа выражаются в виде произведения двух последовательных натуральных чисел. Формула для общего члена ряда выглядит какn × (n+1). Первые десять элементов такого числового набора выглядят как: 2, 6, 12, 20, 30, 42, 56, 72, 90, 110… С увеличением n растет и значение прямоугольных чисел, следовательно, сумма такого ряда также будет расти. Для прямоугольных чисел существует обратная последовательность, определяемая формулой 1 / (n × (n+1)). Числовой набор трансформируется в набор дробей и выглядит как: 1/2 , 1/6, 1/12, 1/20, 1/30, 1/42, 1/56, 1/72, 1/90, 1/110… Сумма ряда дробей определяется по формуле: ∑ = 1 - 1/(n+1). Очевидно, что при увеличении количества элементов ряда значение дроби 1/(n+1) стремится к нулю, а результат сложения приближается к единице. Рассмотрим примеры. Давайте рассчитаем значение прямоугольной последовательности для n = 20. Для этого выберете в меню онлайн-калькулятора закон задания общего члена числового набора n × (n+1) и укажите n. Программа выдаст мгновенный результат в виде 3080. Для вычислений обратного ряда измените закон на 1 / (n × (n+1)). Сумма обратных числовых элементов будет равна 0,952. Прямоугольный числовой набор можно изменить, добавив к нему еще один последовательный множитель. Следовательно, формула для вычисления n-ного члена набора преобразится в n × (n+1) × (n+2). Согласно этой формуле элементы ряда образуются в виде произведения трех последовательных чисел, например, 1 × 2 × 3 или 10 × 11 × 12. Первые десять элементов такого ряда выглядят как: 6, 24, 60, 120, 210, 336, 504, 720, 990, 1320 Это быстрорастущий числовой набор, а сумма соответствующего ряда при росте n уходит в бесконечность. Как и в предыдущем случае, мы можем обратить формулу n-ного члена и получить выражение 1 / (n × (n+1) × (n+2)). Тогда набор целых значений преобразится в ряд дробей, в знаменателе которых будут стоять произведения трех последовательных чисел. Начало такого набора имеет следующий вид: 1/6, 1/24, 1/60, 1/120, 1/210, 1/336… Сумма соответствующего ряда определяется по формуле: ∑ = 0,5 × (0,5 - 1 / (n+1) × (n+2)). Очевидно, что при росте количества элементов дробь 1 / ((n+1) × (n+2)) стремится к нулю, а сумма ряда приближается к значению 0,5 × 0,5 = 0,25. Рассмотрим примеры. Для работы с этим набором требуется выбрать закон определения общего элемента n × (n+1) × (n+2) и задать n, к примеру, 100. Калькулятор выдаст вам саму последовательность, а также значение результата сложения сотни чисел, равный 26 527 650. Если выбрать обратный закон 1 / (n × (n+1) × (n+2)), сумма ряда из 100 членов будет равна 0,250. С помощью данного онлайн калькулятора можно находить суммы рядов, определять их сходимость, абсолютную и условную. Ряд - это последовательность чисел (либо функций - для функциональных рядов), которые связаны между собой определенным законом. Сумма членов ряда это и есть сумма ряда. Для доказательства того, что такая сумма существует (то есть она не равна бесконечности) можно использовать принципы сходимости числовых рядов - принцип Коши, принцип Доламбера и т.д. После доказательства того, что ряд сходится вычислить сумму числового ряда уже необходимо индивидуально. Для геометрической прогрессии, например, сумма вычисляется по формуле: На нашем сайте вы можете вычислить сумму ряда онлайн
. Всегда быстро, надежно, бесплатно. Удобный интерфейс для ввода рядов, задание начального и конечного значения элементов. Возможность находить сумму функционального ряда, использование буквенных констант. На практике студенты имеют дело с числовыми рядами довольно часто. Они широко используются в приближенных вычислениях (вычисление интегралов не имеющих аналитического решения, выполнение математических действий, решение дифференциальных уравнений и т.д.). А про функциональные ряды наподобие ряда Тейлора или ряда Фурье и говорить не приходится. С помощью нашего калькулятора определить сумму ряда теперь не проблема. И т.д. – достаточно самых минимальных знаний о числовых рядах
. Необходимо понимать, что такое ряд , уметь расписывать его подробно и не округлять глаза после словосочетаний «ряд сходится», «ряд расходится», «сумма ряда». Поэтому, если ваше настроение совсем на нуле, пожалуйста, уделите 5-10 минут статье Ряды для чайников
(буквально первые 2-3 страницы), а потом возвращайтесь сюда и смело начинайте решать примеры! Следует отметить, что в большинстве случаев найти сумму ряда непросто, и этот вопрос обычно решается через функциональные ряды
(доживём-доживём:))
. Так, например, сумма популярного артиста выводится через ряды Фурье
. В этой связи на практике почти всегда требуется установить сам факт сходимости
, но не найти конкретное число (многие, думаю, уже успели это заметить). Однако среди великого множества числовых рядов есть немногочисленные представители, которые позволяют без особых проблем прикоснуться к святая святых даже полному чайнику. И на вводном уроке я приводил пример бесконечно убывающей геометрической прогрессии , сумма которой легко рассчитывается по известной школьной формуле. В данной статье мы продолжим рассматривать похожие примеры, кроме того, узнаем строгое определение суммы и попутно познакомимся с некоторыми свойствами рядов. Разомнёмся… да прямо на прогрессиях и разомнёмся: Пример 1
Найти сумму ряда Решение
: представим наш ряд в виде суммы двух рядов: Почему в данном
случае так можно сделать? Выполненные действия основаны на двух простейших утверждениях: 1) Если сходятся ряды , то будут сходиться и ряды, составленные из сумм или разностей соответствующих членов: . При этом существенно то обстоятельство, что речь идёт о сходящихся
рядах. В нашём примере мы заранее знаем
, что обе геометрические прогрессии сойдутся, а значит, без всяких сомнений раскладываем исходный ряд в два ряда. 2) Второе свойство ещё очевиднее. Константу можно вынести за пределы ряда: , и это не повлияет на его сходимость или расходимость и итоговую сумму. Зачем выносить константу? Да просто чтобы она «не мешалась под ногами». Но иногда бывает выгодно этого и не делать Чистовое оформление примера выглядит примерно так: Ответ
: сумма ряда Начало решения можно оформить несколько в другом стиле – расписать ряд напрямую и перегруппировать его члены: Пример 2
Найти сумму ряда Это пример для самостоятельного решения. Полное решение и ответ в конце урока. Каких-либо особых изысков здесь нет, но однажды мне попался необычный ряд , который может застать врасплох неискушенного человека. Это… тоже бесконечно убывающая геометрическая прогрессия! Действительно, , и сумма рассчитывается буквально за пару мгновений: . А сейчас живительный глоток математического анализа, необходимый для решения дальнейших задач: Строгое определение сходимости/расходимости и суммы ряда в теории даётся через так называемые частичные суммы
ряда. Частичные – значит неполные. Распишем частичные суммы числового ряда : Если предел частичных сумм числового ряда равен конечному
числу: , то такой ряд называют сходящимся
, а само число – суммой ряда
. Если же предел бесконечен либо его не существует, то ряд называют расходящимся
. Вернёмся к демонстрационному ряду и распишем его частичные суммы: Предел частичных сумм – есть в точности бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, сумма которой равна: . Похожий предел мы рассматривали на уроке о числовых последовательностях
. Собственно, и сама формула – это прямое следствие вышеизложенных теоретических выкладок (см. 2-ой том матана). Таким образом, прорисовывается общий алгоритм решения нашей задачи
: необходимо составить энную частичную сумму ряда и найти предел . Посмотрим, как это осуществляется на практике: Пример 3
Вычислить сумму ряда Решение
: на первом шаге нужно разложить общий член ряда
в сумму дробей. Используем метод неопределённых коэффициентов
: В результате: Сразу же
полезно провести обратное действие, выполнив тем самым проверку: Теперь составим частичную сумму ряда . Вообще это делается устно, но один раз я максимально подробно распишу, что откуда взялось: Как записать совершенно понятно, но чему равен предыдущий член ? В общий член ряда ВМЕСТО
«эн» подставляем : Почти все слагаемые частичной суммы благополучно сокращаются: Осталось вычислить элементарный предел и узнать сумму ряда: Ответ
: Аналогичный ряд для самостоятельного решения: Пример 4
Вычислить сумму ряда Примерный образец чистового оформления решения в конце урока. Очевидно, что нахождение суммы ряда – это само по себе доказательство его сходимости (помимо признаков сравнения
, Даламбера, Коши
и др.), о чём, в частности, намекает формулировка следующего задания: Пример 5
Найти сумму ряда или установить его расходимость По внешнему виду общего члена можно сразу сказать, как ведёт себя этот товарищ. Без комплексов. С помощью предельного признака сравнения
легко выяснить (причём даже устно), что данный ряд будет сходиться вместе с рядом . Но перед нами редкий случай, когда без особых хлопот рассчитывается ещё и сумма. Решение
: разложим знаменатель дроби в произведение. Для этого нужно решить квадратное уравнение
: Таким образом: Множители лучше расположить в порядке возрастания: . Выполним промежуточную проверку: Таким образом, общий член ряда: Таким образом: Не ленимся: Запишем частичную сумму «эн» членов ряда, при этом обращаем внимание на тот факт, что «счётчик» ряда «начинает работать» с номера . Как и в предыдущих примерах, надёжнее растянуть кобру на приличную длину: Однако если мы запишем в одну-две строчки, то всё равно будет довольно трудно сориентироваться в сокращениях слагаемых (их таки 3 в каждом члене). И здесь нам на помощь придёт… геометрия. Заставим плясать змею под свою дудочку: Да, прямо так и пишем в тетради один член под другим и прямо так их вычёркиваем. Кстати, собственное изобретение. Как понимаете, не от самого лёгкого задания в этой жизни =) В результате всех сокращений получаем: И, наконец, сумма ряда: Ответ
: Пример 8
Вычислить сумму ряда Это пример для самостоятельного решения. Рассматриваемая задача, конечно, не радует нас разнообразием – на практике встречается либо бесконечно убывающая геометрическая прогрессия, либо ряд с дробно-рациональным общим членом и разложимым многочленом в знаменателе (к слову, далеко не каждый такой многочлен даёт возможность найти сумму ряда). Но, тем не менее, иногда попадаются необычные экземпляры, и по сложившейся доброй традиции я завершаю урок какой-нибудь любопытной задачей.
39. Теоремы о сходимости числовых рядов.
40. Эталонные ряды для установления сходимости
41. Функциональные ряды, степенные ряды, ряды Тейлора и Маклорена
Последовательность
Натуральная последовательность
Расчет суммы натурального ряда
Последовательность квадратов
Расчет суммы квадратного ряда
Кубический ряд
Расчет суммы кубического ряда
Последовательность нечетных чисел
Вычисление суммы нечетных чисел
Прямоугольные числа
Обратная последовательность
Сумма прямоугольного и обратного ему ряда
Ряд произведений трех последовательных чисел
Обратная последовательность
Ряд произведений трех последовательных чисел и обратный ему
Заключение
Найти сумму ряда онлайн
Дважды используем формулу для нахождения суммы бесконечно убывающей геометрической прогрессии: , где – первый член прогрессии, – основание прогрессии.
Дальше по накатанной.Что такое сумма ряда?
И особую роль играет частичная сумма «эн» членов ряда:
Получен общий член ряда в исходном виде, следовательно, разложение в сумму дробей проведено успешно.
Прямо такие пометки и делаем карандашом в тетради. Чертовски удобно.
ОК
Что и требовалось проверить.
Похожие статьи