Нормальный вид квадратичной формы.

Согласно теореме Лагранжа любую квадратичную форму можно привести к каноническому виду. То есть существует диагонализирующий (канонический) базис, в котором матрица этой квадратичной формы имеет диагональный вид

где . Тогда в этом базисе квадратичная форма имеет вид

Пусть среди ненулевых элементов имеется положительных и отрицательных, причем . Меняя, в случае необходимости нумерацию базисных векторов, можно всегда добиться того, чтобы в диагональной матрице квадратичной формы первые элементов были положительными, остальные – отрицательными (если , то последние элементов в матрице – нули). В результате квадратичную форму (10.17) можно записать в следующем виде

В результате замены переменных на переменные согласно системе:

квадратичная форма (6.18) примет диагональный вид, в которой коэффициенты при квадратах переменных единицы, минус единицы или нули:

где матрица квадратичной формы (10.19) имеет диагональный вид

Определение 10.9. Запись (10.19) называется нормальным видом квадратичной формы, а диагонализирующий базис, в котором квадратичная форма имеет матрицу (10.20), называется нормализирующим базисом .

Таким образом, в нормальном виде (10.19) квадратичной формы диагональными элементами матрицы (10.20) могут быть единицы, минус единицы или нули, причем располагаются они так, что сначала первыми идут единиц, затем минус единиц, потом нулей (не исключаются случаи обращения в нуль указанных значений , , ).

Таким образом, доказана следующая теорема.

Теорема 10.3. Всякая квадратичная форма может быть приведена к нормальному виду (10.19) с диагональной матрицей (10.20).

Закон инерции квадратичной формы

Квадратичная форма может быть приведена к каноническому виду различными способами (методом Лагранжа, методом ортогональных преобразований или методом Якоби). Но, несмотря на многообразие канонических видов для данной квадратичной формы, имеются такие характеристики её коэффициентов, которые во всех этих канонических видах остаются неизменными. Речь идет о так называемых числовых инвариантах квадратичной формы. Одним из числовым инвариантом квадратичной формы является ранг квадратичной формы.

Теорема 10.4 (об инвариантности ранга квадратичной формы) .Ранг квадратичной формы не меняется при невырожденных линейных преобразованиях и равен числу отличных от нуля коэффициентов в любом ее каноническом виде. Другими словами, ранг квадратичной формы равен количеству ненулевых собственных чисел матрицы квадратичной формы (с учетом их кратности).

Определение 10.10. Ранг квадратичной формы называется индексом инерции . Число положительных и число () отрицательных чисел в нормальном виде (3) квадратичной формы называются положительным и отрицательным индексами инерции квадратичной формы соответственно. При этом список называется сигнатурой квадратичной формы.

Положительный и отрицательный индексы инерции являются числовыми инвариантами квадратичной формы. Справедлива теорема, называемая законом инерции .

Теорема 10.5 (закон инерции) .Канонический вид (10.17) квадратичной формы определён однозначно, то есть сигнатура не зависит от выбора диагонализирующего базиса (не зависит от способа приведения квадратичной формы к каноническому виду).

□ Утверждение теоремы означает, что если одна и та же квадратичная форма при помощи двух неособенных линейных преобразований

приведена к различным каноническим видам ():

то обязательно , то есть количество положительных коэффициентов совпадает с количеством положительных коэффициентов .

Вопреки утверждению, предположим, что . Так как преобразования (10.21) невырожденные, то выразим из них канонические переменные :

Найдем вектор такой, чтобы соответствующие векторы , имели вид

Для этого представим матрицы и в следующих блочных видах:

где обозначены -матрица, -матрица, -матрица, -матрица.

В результате блочных представлений матриц и составим однородную систему линейных алгебраических уравнений, взяв из (10.22) первые уравнений, а из (10.23) – последние уравнений:

Полученная система содержит уравнений и неизвестных (компонент вектора ). Так как , то , то есть в этой системе число уравнений меньше числа неизвестных, и она имеет бесконечное количество решений, среди которых можно выделить ненулевое решение .

На полученном векторе значения формы имеют разные знаки:

что невозможно. Значит, предположение о том, что неверно, то есть .

Из того, что следует, что сигнатура не зависит от выбора диагонализирующего базиса. ■

В качестве иллюстрации закона инерции можно показать, что квадратичная форма от трех переменных:

двумя неособенными линейными преобразованиями , с соответствующими матрицами

(первая матрица соответствует методу Лагранжа, вторая – методу ортогональных преобразований) приводится соответственно к двум различным каноническим формам

При этом обе канонические формы имеют одну и ту же сигнатуру

6. Знакоопределенные и знакопеременные квадратичные формы

Квадратичные формы подразделяют на типы в зависимости от множества принимаемых ими значений.

Определение 10.11. Квадратичная форма называется:

положительно определенной

отрицательно определенной , если для всякого ненулевого вектора : ;

неположительно определенной (отрицательно полуопределенной) , если для всякого ненулевого вектора : ;

неотрицательно определенной (положительно полуопределенной) , если для всякого ненулевого вектора : ;

знакопеременной , если существуют ненулевые векторы , : .

Определение 10.12. Положительно (отрицательно) определенные квадратичные формы называются знакоопределенными . Неположительно (неотрицательно) определенные квадратичные формы называются знакопостоянными .

Тип квадратичной формы можно легко определить, приведя ее к каноническому (или нормальному) виду. Справедливы следующие две теоремы.

Теорема 10.6. Пусть квадратичная форма приведена к каноническому виду и имеет сигнатуру ( , ). Тогда:

Является положительно определенной ;

Является отрицательно определенной ;

Является неположительно определенной ;

Является неотрицательно определенной ;

Является знакопеременной .). Тогда:неотрицательно определенной при всех ;

Является знакопеременной среди собственных чисел есть как положительные, так и отрицательные.

Закон инерции квадратичных форм. Мы уже отмечали выше, что ранг квадратичной формы равен числу отличных от нуля канонических коэффициентов. Таким образом, число отличных от нуля канонических коэффициентов не зависит от выбора невырожденного преобразования, с помощью которого форма приводится к каноническому виду. На самом деле при любом способе приведения формы к каноническому виду не меняется число положительных и отрицательных канонических коэффициентов. Это свойство называется законом инерции квадратичных форм.

Пусть форма в базисе определяется матрицей :

, (4.20)

где – координаты вектора в базисе е . Допустим, что эта форма с помощью невырожденного преобразования координат приведена к каноническому виду

причем – отличные от нуля канонические коэффициенты, занумерованные так, что первые из этих коэффициентов положительные, а следующие коэффициенты – отрицательные:

, , …, , , …, .

Рассмотрим следующее невырожденное преобразование координат :

В результате этого преобразования форма примет вид

называемый нормальным видом квадратичной формы.

Теорема 4.5 (закон инерции квадратичных форм) . Число слагаемых с положительными (отрицательными) коэффициентами в нормальном виде квадратичной формы не зависит от способа приведения формы к этому виду.

Следствие. Две квадратичные формы эквивалентны тогда и только тогда, когда ранги форм равны, положительные и отрицательные индексы инерции совпадают.

Классификация квадратичных форм. В этом пункте с помощью понятий индекса инерции, положительного и отрицательного индексов инерции квадратичной формы мы укажем, каким образом можно выяснить принадлежность квадратичной формы к тому или иному из перечисленных выше типов (положительно определенной, отрицательно определенной, знакопеременной и квазизнакоопределенной). При этом индексом инерции квадратичной формы мы будем называть число отличных от нуля канонических коэффициентов этой формы (т.е. ее ранг), положительным индексом инерции – число положительных канонических коэффициентов, отрицательным индексом инерции – число отрицательных канонических коэффициентов. Ясно, что сумма положительного и отрицательного индексов инерции равна индексу инерции. Отрицательный и положительный индексы инерции связаны соотношением , а пара или называется сигнатурой квадратичной формы.

Итак, пусть индекс инерции, положительный и отрицательный индексы инерции квадратичной формы соответственно равны , и (). В предыдущем пункте было доказано, что в любом каноническом базисе эта форма может быть приведена к следующему нормальному виду:

где – координаты вектора в базисе .

Пример 6 Найти нормальный вид и сигнатуру квадратичной формы

Канонический вид этой формы имеет вид: . Положим , , . Тогда . Это нормальный вид квадратичной формы. Положительный индекс инерции: , отрицательный индекс инерции . Следовательно, сигнатура квадратичной формы .

Теорема 4.6 (необходимое и достаточное условие знакоопределенности квадратичной формы) Для того чтобы квадратичная форма , заданная в n-мерном линейном пространстве L, была знакоопределенной, необходимо и достаточно, чтобы либо положительный индекс инерции , либо отрицательный индекс инерции был равен размерности пространства L. При этом, если , то форма положительно определенная, если же , то форма отрицательно определенная.

Замечание . Для выяснения вопроса о знакоопределенности квадратичной формы с помощью указанного признака мы должны привести эту форму к каноническому виду.

Теорема 4.7 (необходимое и достаточное условие знакопеременности квадратичной формы) Для того чтобы квадратичная форма была знакопеременной, необходимо и достаточно, чтобы как положительный, так и отрицательный индексы инерции этой формы были отличны от нуля.

Теорема 4.8 (необходимое и достаточное условие квазизнакоопределенности квадратичной формы) Для того чтобы форма была квазизнакоопределенной, необходимо и достаточно, чтобы выполнялись соотношения: либо , , либо , .

Критерий Сильвестра знакоопределенности квадратичной формы. Пусть форма в базисеопределяется матрицей : и пусть , , …, – угловые (главные) миноры и определитель матрицы . Справедливо следующее утверждение:

Теорема 4.9 (критерий Сильвестра) Для того чтобы квадратичная форма была положительно определенной, необходимо и достаточно, чтобы были выполнены неравенства , , …, .

Для того чтобы квадратичная форма была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы знаки угловых миноров чередовались, причем .

Следствие 1 Для того чтобы квадратичная форма была отрицательно определенной, необходимо и достаточно, чтобы все угловые миноры четного порядка были положительны и все угловые миноры нечетного порядка были отрицательны или, иначе, были выполнены неравенства , , …, , .

Следствие 2 Для того чтобы квадратичная форма была неотрицательной, необходимо и достаточно, чтобы все главные (не только угловые) миноры ее матрицы были неотрицательны.

Следствие 3 Для того чтобы квадратичная форма была неположительной, необходимо и достаточно, чтобы все главные миноры четного порядка были неотрицательны и все главные миноры нечетного порядка были неположительны.

Следствие 4 Для того чтобы квадратичная форма была неопределенной (знакопеременной), необходимо и достаточно, чтобы у ее матрицы существовали отрицательный главный минор четного порядка и два главных минора нечетных порядков разных знаков.

Пример 7 Исследовать квадратичные формы на знакоопределенность:

1) Для матрицы квадратичной формы найдем все угловые миноры

В этом случае опять только по значениям угловых миноров дать ответ нельзя. Найдем все главные миноры. Не угловые главные миноры первого порядка равны 2 и 4. Не угловые главные миноры второго порядка , . Имеется отрицательный главный минор четного порядка. Поэтому квадратичная форма неопределенная.

Над полем K {\displaystyle K} и e 1 , e 2 , … , e n {\displaystyle e_{1},e_{2},\dots ,e_{n}} - базис в L {\displaystyle L} .

• Квадратичная форма является положительно определенной, тогда и только тогда, когда все угловые миноры её матрицы строго положительны.
• Квадратичная форма является отрицательно определенной, тогда и только тогда, когда знаки всех угловых миноров её матрицы чередуются, причем минор порядка 1 отрицателен.

Билинейная форма, полярная положительно определённой квадратичной форме, удовлетворяет всем аксиомам скалярного произведения .

Канонический вид

Вещественный случай

В случае, когда K = R {\displaystyle K=\mathbb {R} } (поле вещественных чисел), для любой квадратичной формы существует базис, в котором её матрица диагональна, а сама форма имеет канонический вид (нормальный вид):

Q (x) = x 1 2 + ⋯ + x p 2 − x p + 1 2 − ⋯ − x p + q 2 , 0 ≤ p , q ≤ r , p + q = r , (∗) {\displaystyle Q(x)=x_{1}^{2}+\cdots +x_{p}^{2}-x_{p+1}^{2}-\cdots -x_{p+q}^{2},\quad \ 0\leq p,q\leq r,\quad p+q=r,\qquad (*)}

где r {\displaystyle r} - ранг квадратичной формы. В случае невырожденной квадратичной формы p + q = n {\displaystyle p+q=n} , а в случае вырожденной - p + q < n {\displaystyle p+q.

Для приведения квадратичной формы к каноническому виду обычно используются метод Лагранжа или ортогональные преобразования базиса, причем привести данную квадратичную форму к каноническому виду можно не одним, а многими способами.

Число q {\displaystyle q} (отрицательных членов) называется индексом инерции данной квадратичной формы, а число p − q {\displaystyle p-q} (разность между числом положительных и отрицательных членов) называется сигнатурой квадратичной формы. Отметим, что иногда сигнатурой квадратичной формы называют пару (p , q) {\displaystyle (p,q)} . Числа p , q , p − q {\displaystyle p,q,p-q} являются инвариантами квадратичной формы, т.е. не зависят от способа её приведения к каноническому виду (закон инерции Сильвестра ).

Комплексный случай

В случае, когда K = C {\displaystyle K=\mathbb {C} } (поле комплексных чисел), для любой квадратичной формы существует базис, в котором форма имеет канонический вид

Q (x) = x 1 2 + ⋯ + x r 2 , (∗ ∗) {\displaystyle Q(x)=x_{1}^{2}+\cdots +x_{r}^{2},\qquad (**)}

где r {\displaystyle r} - ранг квадратичной формы. Таким образом, в комплексном случае (в отличие от вещественного) квадратичная форма имеет один единственный инвариант - ранг, и все невырожденные формы имеют один и тот же канонический вид (сумма квадратов).

Итак, согласно теореме о приведении квадратичной формы, для любой квдратичной формы \(A(x,x)\) существует канонический базис \(\{f_1, \, f_2, ..., f_n\}\), так что для любого вектора \(x\), \[ x=\sum _{k=1}^n\eta _kf_k,\quad A(x,x)=\sum _{k=1}^n \lambda _k\eta _k^2. \] Так как \(A(x,x)\) вещественно-значна, и наши замены базиса также включают только вещественные числа, приходим к выводу, что числа \(\lambda _k\) вещественны. Среди этих чисел есть положительные, отрицательные и равные нулю.

Определение. Число \(n_+\) положительных чисел \(\lambda _k\) называется положительным индексом квадратичной формы \(A(x,x)\) , число \(n_-\) отрицательных чисел \(\lambda _k\) называется отрицательным индексом квадратичной формы , число \((n_++n_-)\) называется рангом квадратичной формы . Если \(n_+=n\), квадратичная форма называется положительной .

Вообще говоря, приведение квадратичной формы к диагональному виду реализуется не единственным образом. Возникает вопрос: зависят ли числа \(n_+\), \(n_-\) от выбора базиса, в котором квдратичная форма диагональна?

Теорема (Закон инерции квадратичных форм). Положительный и отрицательный индексы квадратичной формы не зависят от способа приведения ее к каноническому виду.

Пусть имеется два канонических базиса, \(\{f\}\), \(\{g\}\), так что любой вектор \(x\) представляется в виде: \[ x=\sum_{k=1}^n\eta _kf_k=\sum _{m=1}^n\zeta _mg_m, \] причем \[ A(x,x)=\sum_{k=1}^n\lambda _k\eta _k^2=\sum _{m=1}^n\mu _m\zeta _m^2. \quad \quad(71) \] Пусть среди \(\lambda _k\) первые \(p\) положительны, остальные либо отрицательны, либо нули, среди \(\mu_m\) первые \(s\) положительны, остальные либо отрицательны, либо нулевые. Нам необходимо доказать, что \(p=s\). Перепишем (71): \[ \sum_{k=1}^p\lambda _k\eta _k^2-\sum _{m=s+1}^n\mu _m\zeta _m^2=-\sum_{k=p+1}^n\lambda _k\eta _k^2+\sum _{m=1}^s\mu _m\zeta _m^2, \quad \quad(72) \] так что все слагаемые в обеих частях равенства неотрицательны. Предположим, что \(p\) и \(s\) не равны, например, \(p

Мы доказали, что совпадают положительные индексы. Аналогично можно доказать, что совпадают и отрицательные индексы. ч.т.д.

1. Преобразовать к сумме квадратов квадратичные формы:

а) \(x_1^2+2x_1x_2+2x_2^2+4x_2x_3+5x_3^2\);

В п. 1 § 2 этой главы (см. определение 2) были введены понятия положительно определенной, отрицательно определенной, знакопеременной и квазизнакоопределенной квадратичных форм.

В этом пункте с помощью понятий индекса инерции, положительного и отрицательного индексов инерции квадратичной формы мы укажем, каким образом можно выяснить принадлежность квадратичной формы к тому или иному из перечисленных выше типов. При этом индексом инерции квадратичной формы мы будем называть число отличных от нуля канонических коэффициентов этой формы (т. е. ее ранг), положительным индексом инерции - число положительных канонических коэффициентов, отрицательным индексом инерции - число отрицательных канонических коэффициентов. Ясно, что сумма положительного и отрицательного индексов инерции равна индексу инерции.

Итак, пусть индекс инерции, положительный и отрицательный индексы инерции квадратичной формы соответственно равны . В предыдущем пункте было доказано, что в любом каноническом базисе эта форма может быть приведена к следующему нормальному виду:

где - координаты вектора х в базисе .

1°. Необходимое и достаточное условие знакоопределенности квадратичной формы.

Справедливо следующее утверждение:

Для того чтобы квадратичная форма заданная в n-мерном линейном пространстве была знакоопределенной, необходимо и достаточно, чтобы либо положительный индекс инерции либо отрицательный индекс инерции был равен размерности пространства

При этом, если , то форма положительно определенная, если же , то форма отрицательно определенная.

Доказательство. Так как случаи положительно определенной формы и отрицательно определенной формы рассматриваются аналогично, то доказательство утверждения проведем для положительно определенных форм.

1) Необходимость. Пусть форма положительно определена. Тогда выражение (7.35) примет вид

Если при этом то из последнего выражения следует, что для ненулевого вектора х с координатами

форма обращается в нуль, а это противоречит определению положительно определенной квадратичной формы. Следовательно,

2) Достаточность. Пусть Тогда соотношение (7.35) имеет вид . Ясно, что причем, если , то , т. е. вектор х нулевой. Следовательно, - положительно определенная форма.

Замечание. Для выяснения вопроса о знакоопределенности квадратичной формы с помощью указанного признака мы должны привести эту форму к каноническому виду.

В следующем пункте мы докажем критерий Сильвестра знакоопределенности квадратичной формы, с помощью которого можно выяснить вопрос о знакоопределенности формы, заданной в любом базисе без приведения к каноническому виду.

2°. Необходимое и достаточное условие знакопеременности квадратичной формы.

Докажем следующее утверждение:

Для того чтобы квадратичная форма была знакопеременной, необходимо и достаточно, чтобы как положительный, так и отрицательный индексы инерции этой формы были отличны от нуля.

Доказательство. 1) Необходимость. Так как знакопеременная форма принимает как положительные, так и отрицательные значения, то ее представление (7.35) в нормальном виде должно содержать как положительные, так и отрицательные слагаемые (в противном случае эта форма принимала бы либо неотрицательные, либо неположительные значения). Следовательно, как положительный, так и отрицательный индексы инерции отличны от нуля.

2) Достаточность. Пусть . Тогда для вектора с координатами имеем , а для вектора с координатами имеем .

Похожие статьи