В нашей семье живёт котик. Зовут его Масик. Скоро ему исполнится один год. Он у нас — как член семьи. Когда мы садимся за стол обедать, он тут как тут. Бьёт своей лапкой по скатерти — есть просит. Получается смешно. Он любит рыбку и хлеб. Ещё он любит, когда я с ним играю. А днём, если нет никого дома, он нежится на балконе на солнышке. Спит Масик со мной или старшей сестрой Кристиной.
Я его очень люблю.
Тымин Антон, 2-а класс, школа №11, г. Белгород
У меня дома есть пернатый питомец — попугай Кеша. Он появился у нас два года назад. Сейчас он умеет разговаривать, довольно смело чувствует себя с людьми. Мой попугайчик очень весёлый, умный и талантливый.
Я очень люблю его и очень рада, что он у меня есть.
Варфоломеева Екатерина, 2-а класс, школа №11, г. Белгород
Мой дружок
Мы с мамой пошли на рынок, купили котёнка и принесли его домой. Он стал везде прятаться. Мы назвали его Тишка. Он вырос и стал ловить мышей. Скоро мы узнали, что это кошечка, и теперь мы ждём котят.
Белевич Ксения, 2-а класс, школа №11, г. Белгород
Моя черепашка
У меня дома живёт маленькая черепашка. Её зовут Дина. Мы с ней ходим гулять. Она ест на улице свежую траву. Потом я несу её домой. Она ходит по квартире и ищет себе тёмный уголок. Когда найдёт, то спит в нём час или два.
Есть я её приучила на кухне. Дина любит яблоки, капусту, мочёный хлеб, сырое мясо. Один раз в неделю мы купаем черепашку в тазике.
Вот такая у меня черепашка.
Мирошникова Софья, 2-а класс, школа №11, г.Белгород
Мой любимый кролик
У меня есть маленький кролик. Он такой миленький, у него малюсенькие красные глазки. Он самый красивый на свете! Когда я увидел его первый раз, то не мог глаза оторвать от его красоты.
Кролик от меня никогда не убегает, а наоборот, как увидит меня, то сразу просится ко мне на руки. Ну совсем, как мой младший брат! Он очень шустрый. Любит есть травку и кукурузу.
Обожаю моего кролика!
Бобылёв Денис, 7 лет
Котик Самик
Дома у меня животных нет, но мой друг кот Самсон живёт у моей бабушки в деревне. Красивый, пушистый, чёрный с белыми пятнами на грудке.
Обычно дома охраняются , а у бабушки охранником является Самик. Сначала он прогнал всех мышей из всех сараев, из подвала. И вот уже несколько лет ни одной мыши! Но это ещё не всё. Он не пускает чужих котов, собак ни в огород, ни в сад, ни во двор, и этим помогает моей бабушке! Даже если кто-нибудь подойдёт к дому, Самик начинает громко мяукать, и бабушка знает уже — пришёл кто-то чужой!
Своего охранника бабуля балует молоком, рыбкой, колбаской. Ведь он такой умница! Он этого заслуживает!
Байдиков Владислав
Когда я была маленькой, мы жили на Севере в городе Ноябрьске. Мы с папой и мамой на рынке и купили двух кроликов. Один был белый, а другой — серый. Я была очень рада! Мы купили для них еду. Они жили в клетке на балконе. Я их каждый день кормила морковкой и капустой, убирала у них в клетке. Я очень любила кроликов и играла с ними.
Когда мы уезжали с Севера, то не смогли взять кроликов в дальнюю дорогу. Боялись, что они погибнут. Мама сфотографировала меня с ними. Я часто о них вспоминаю и скучаю.
Еремеева Сабина, 7 лет, 2 "А" класс, школа №11, г. Белгород
Вариант № 1
Все дети и даже взрослые любят держать домашних животных. Кто-то держит рыбок, а у кого-то есть кошки, собаки, кролики, попугаи. У меня есть собака.
Имя моего питомца – Босс. Он ротвейлер. Босс – очень большая собака, у него большие карие глаза и характерный для этой породы окрас.
Я взял собаку у своего друга. Он уезжал за границу и хотел найти хороший дом для своей собаки, которая тогда была щенком. Так Босс стал жить у меня. Родители сразу же одобрили моё желание завести собаку, ведь на тот момент у нас совсем не было животных.
Босс охраняет наш дом, он всегда лает на незнакомцев. Но как только ему скажешь «нельзя», он сразу же замолкает. Босс очень послушный и умный пёс. Также он знает команды: «сидеть», «лежать», «дай лапу», «фу» и «ползи».
Босс любит есть мясо, рыбу и пить молоко. Я всегда вывожу его гулять на поводке, потому что многие люди боятся его из-за его грозного вида. Но, на самом деле, он очень добрый пёс!
Босс очень любит купаться, обычно я его мою в ванной, а папа помогает ему туда забраться и выбраться от туда. Босс – очень чистоплотный пёс, он никогда не портит дом.
Вариант № 2
Домашние животные обычно дарят человеку радость и удовольствие. Но моя любимая собака Моти также является источником безопасности и защиты. Ни одно другое животное не является таким же искренним и верным другом, как собака. Собаки были на службе у человека с самого начала цивилизации. Первоначально собака была такой же дикой, как волк.
Моти – немецкая овчарка. Сейчас я уже не могу представить жизнь без него. Мама подарила мне Моти на День Рождения. Тогда это был маленький озорной щенок. Мы с ним много играли, гуляли на улице, я буквально не отходил от Моти ни на шаг. Мы даже обедали и ужинали в одно время!
Сейчас Моти – это уже большая взрослая собака. Она очень добрая и преданная, знает много разных команд, например, «сидеть», лежать», «дай лапу» и «фу». Но если в дом стучатся незнакомцы, то она сразу лает, пока ей не скажешь «фу» или «нельзя». Она очень хорошо понимает, что если хозяин произносит эти команды, то нет повода для беспокойства.
Моти никогда не прыгает на наши кровати или диваны. Она всегда ведёт себя культурно, мы не разрешаем ей забираться на наши диваны, ведь у неё есть своё место в доме, которое она очень хорошо знает.
Я кормлю Моти кашей, которую мама готовит специально для неё. Также она любит сухарики и молочные продукты. Я никогда не даю ей сладостей, потому что они портят здоровье собаки. Я вывожу её на долгую прогулку утром и вечером. Мы часто играем вместе с мячом и палкой. Я чувствую себя в безопасности в присутствии Моти.
Вместе со статьёй «Сочинение на тему «Моё любимое животное – собака» читают:
Поделиться:Контрольное домашнее задание по финансовой математике
1. Определите наращенную сумму вклада в 3 тыс. руб. при сроке вклада 2 года по номинальной процентной ставке 40% годовых. Начисление процентов производится: а) один раз в год, б) по полугодиям, в) поквартально, г) ежемесячно
Наращенная сумма к концу срока вклада определяется по формуле:
где m - количество начислений процентов в году;
n - срок депозита (в годах);
Указанная в депозитном договоре ставка годовых процентов (номинальная ставка).
Принятая в банках ставка процента за интервал начисления.
а) один раз в год:
(тыс.руб.)
б) по полугодиям
- (тыс.руб.)
- в) поквартально,
- (тыс.руб.)
- г) ежемесячно.
- (тыс.руб.)
- 2. Банк принимает вклады от населения по номинальной процентной ставке 12% годовых. Начисление процентов ежемесячное. Вклад 1200$ был изъят через 102 дня. Определите доход клиента
Для расчета продолжительности финансовой операции принимаем точное количество дней в году. Продолжительность финансовой операции определяется по формуле:
где t - фактическое количество дней по финансовой операции.
n - срок депозита (в годах).
3. Для строительства завода банк предоставил фирме кредит в 200 тыс.$ сроком на 10 лет из расчета 13% годовых. Проведите расчет коэффициента наращения, суммы начисленных процентов и стоимости кредита на конец каждого года
Простые проценты:
Коэффициент наращения простых процентов определяется по формуле:
где
где S 0 - сумма кредита;
n - период начисления процентов;
i - номинальная процентная ставка.
S 0 - сумма кредита;
n - период начисления процентов;
i - номинальная процентная ставка.
В таблице 1 приведены данные о значении коэффициента наращения, сумме процентов и стоимости кредита на конец каждого года (расчеты проведены в Microsoft Excel - Приложение А, задача 3).
Таблица 1. Расчетные данные коэффициента наращения, суммы процентов и стоимости кредита.
|
коэффициент наращения |
стоимость кредита, $ |
процент, $ |
|
Сложные проценты:
Коэффициент наращения определяется по формуле:
i - номинальная процентная ставка.
Сумма процента рассчитывается по формуле:
где S - сумма кредита;
n - период начисления процентов;
i - номинальная процентная ставка.
Стоимость кредита в конце периода:
где S n - стоимость кредита (наращенная стоимость);
S 0 - сумма кредита;
n - период начисления процентов;
i - номинальная процентная ставка.
В таблице 2 приведены данные о значении коэффициента наращения, сумме процентов и стоимости кредита на конец каждого года (расчеты проведены в Microsoft Excel).
Таблица 2. Расчетные данные коэффициента наращения, суммы процентов и стоимости кредита.
|
коэффициент наращения |
стоимость кредита, $ |
процент, $ |
|
4. Фирме предоставлен льготный кредит в 50 тыс. $ на 3 года под 12% годовых. Проценты на кредит начисляются один раз в год. По условиям договора фирма имеет право оплатить кредит и проценты единым платежом в конце трехлетнего периода. Сколько должна заплатить фирма при расчете по простым и сложным процентам?
Простые проценты:
Сумма простых процентов рассчитывается по формуле:
где S - сумма кредита;
n - период начисления процентов;
i - номинальная процентная ставка.
Сумма кредита составит:
Сумма начисленных сложных процентов рассчитывается по формуле:
где S - сумма кредита,
n - период начисления процентов,
i - номинальная процентная ставка.
Сумма кредита составит:
5. Производственно-коммерческая фирма получила кредит в 900 тыс. руб. сроком на 3 года. Проценты - сложные. Процентная ставка за первый год 40% и каждый последующий год увеличивается на 5%. Определите сумму возврата кредита
Сумма возврата кредита определяется по формуле:
где S n - сумма возврата кредита на конец периода;
S 0 - сумма кредита;
n - период начисления процентов;
i - номинальная процентная ставка.
По условию процентная ставка растет на 5 %:
Сумма возврата кредита на 3-й год составит:
6. Определите период времени, необходимый для удвоения капитала по простым и сложным процентам при процентной ставке 12% годовых. В последнем случае начисление процентов ежемесячное
«Правило 70» и «Правило 100» позволяют ответить на вопрос, за сколько лет удвоится капитала при ставки процента i.
Простые проценты («правило 100»):
i - ставка процента.
где Т - период, за который удвоится капитал;
i - ставка процента.
7. Определите период времени, необходимый для утроения капитала по простым и сложным процентам при процентной ставке 48% годовых. В последнем случае начисление процентов квартальное
Простые проценты при утроении капитала:
Сложные проценты при утроении капитала:
8. Сколько времени нужно хранить вклад в банке под 84% годовых при ежемесячном, поквартальном и полугодовом начислении процентов, чтобы сумма вклада удвоилась. Методика расчета банковская
Сложные проценты («правило 70»):
где Т - период, за который удвоится капитал;
m - периодичность начисления процентов;
i - ставка процента.
- - ежемесячное начисление: лет.
- - поквартальное начисление: лет.
- - полугодовое начисление: лет.
- 9. Клиент внес на депозит сроком на 4 месяца 1600$. Начисление процентов ежемесячное. После окончания срока он получил 1732$. Определите процентную ставку банка
Для определения процентной ставки банка применяется формула наращения денежных средств методом сложных процентов:
j - фактическое число периодов начисления процентов;
n - срок депозита (в годах);
S0 - величина вклада в момент открытия депозита;
Процентная ставка банка.
Отсюда процентная ставка банка рассчитывается по формуле:
Процентная ставка банка составит:
10. Какой должна быть минимальная процентная ставка, чтобы произошло удвоение вклада за год при начислении процентов: а) поквартально, б) ежемесячно
Минимальная процентная ставка определяется по формуле:
где m - количество начислений процентов;
n - срок депозита (в годах);
S0 - величина вклада в момент открытия депозита;
Sm - величина вклада в момент открытия депозита;
Процентная ставка банка.
a) поквартальное начисление процентов:
b) ежемесячное начисление процентов:
11. "Приорбанк" предлагал населению на 1996 г. денежный вклад. Доход по нему составил за первые 2 месяца 72% годовых, за следующие 2 месяца -84, за 5 месяцев - 96, за 6 месяцев - 108% годовых. Определите эффективную процентную ставку при размещении денег на 6 месяцев под указанные простые и сложные проценты. В последнем случае начисление процентов ежемесячное
Эффективная ставка процента - ставка, отражающая реальный доход от коммерческой сделки).
Эффективная процентная ставка, рассчитанная по простым процентам, определяется по формуле:
где m - количество начислений процентов;
n - срок депозита (в годах).
Эффективная процентная ставка, рассчитанная по сложным процентам, определяется по формуле:
где m - количество начислений процентов;
n - срок депозита (в годах).
12. Реклама одного коммерческого банка предлагает 84% годовых при ежемесячном начислении процентов. Другой коммерческий банк предлагает 88% годовых при поквартальном начислении процентов. Срок хранения вклада - 12 месяцев. Какому банку отдать предпочтение?
Выбор между коммерческими банками будет зависеть от коэффициента наращения.
Коэффициент наращения сложных процентов определяется по формуле:
где n - период начисления процентов,
i - номинальная процентная ставка.
Предпочтение Банку 1.
13. Сопоставьте условия четырех банков: а) проценты простые и процентная ставка 48%; b) номинальная процентная ставка - 46% годовых, начисление процентов происходит по полугодиям; c) номинальная процентная ставка - 45%, начисление процентов поквартальное; d) номинальная процентная ставка -44%, начисление процентов ежемесячное
Для определения наиболее выгодного варианта необходимо сопоставить предлагаемые условия (все расчеты проводятся для периода равного 1 год).
a) проценты простые и процентная ставка 48%.
Коэффициент наращения простых процентов: .
b) номинальная процентная ставка - 46% годовых, начисление процентов происходит по полугодиям.
c) номинальная процентная ставка - 45%, начисление процентов поквартальное.
Коэффициент наращения сложных процентов:
d) номинальная процентная ставка -44%, начисление процентов ежемесячное.
Коэффициент наращения сложных процентов:
В таблице 3 сопоставлены условия для вкладчика, заемщика и банка (кредитора).
Таблица 3
14. Клиент разместил вклад в 100 тыс. руб. на срочный депозит сроком 8 месяцев. Начисление процентов ежемесячное, под номинальную процентную ставку 36% годовых. Определите наращенную сумму и эффективную процентную ставку
Наращенная сумма депозита определяется по формуле сложного процента:
S 0 - начальная сумма вклада;
n - период начисления процентов;
i - номинальная процентная ставка.
15. Предприятие получило кредит на 3 года под номинальную процентную ставку 40% годовых. Комиссионные составляют 5% от суммы кредита. Определите эффективную процентную ставку при начислении процентов: а) один раз в год, б) поквартально, в) ежемесячно
Эффективная ставка определяется путем приравнивания будущих стоимостей без учета и с учетом комиссионных:
где m - количество начислений процентов;
n - срок кредита (в годах);
S - величина кредита;
Номинальная процентная ставка банка;
Сумма по уплате комиссии банку.
где h - комиссия банка.
Эффективная ставка рассчитывается по формуле:
- - один раз в год: ;
- -поквартально: ;
- - ежемесячно: .
- 16. Предприятие получило кредит на 3 года под годовую процентную ставку 48%. Комиссионные составляют 5% от суммы кредита. Определите эффективную процентную ставку кредита, если: а) кредит получен под простые проценты, b) кредит получен под сложные проценты с начисление процентов один раз в год, c) при ежемесячном начислении процентов
a) кредит получен под простые проценты
b) кредит получен под сложные проценты с начисление процентов один раз в год:
c) кредит получен под сложные проценты при ежемесячном начислении процентов:
17. Фирма получила кредит в 40 тыс. руб. на один месяц под годовую процентную ставку 12%. Проценты простые. Месячный уровень инфляции - 5,9%. Определите месячную процентную ставку с учетом инфляции, наращенную сумму и процентные деньги
Процентная ставка банка в месяц составляет:
Процентная ставка банка в месяц с учетом инфляции:
где i р - реальная ставка банка с учетом инфляции;
i - номинальная ставка банка;
n - число лет;
р - уровень инфляции.
Наращенная сумма кредита определяется по формуле простого процента:
депозит кредит банк доход
18. Фирма обратилась в банк за кредитом в 100 тыс. руб. сроком на один месяц. Банк выделяет такие кредиты под простую годовую процентную ставку 24% без учета инфляции. Месячные уровни инфляции за три предыдущие месяца: 1,8%; 2,4; 2,6%. Кредит выделен с учетом среднего уровня инфляции за три указанных месяца. Определите процентную ставку банка с учетом инфляции, сумму возврата, дисконт банка
Уровень инфляции за три месяца:
Средний уровень инфляции в месяц:
Наращенная сумма возврата:
Процентные выплаты составят: руб.
19. Банк выдал клиенту кредит на 3 месяца. Сумма кредита - 24 тыс. руб. Банк требует, чтобы реальная ставка доходности была 12% годовых. Прогнозируемый средний месячный уровень инфляции - 3,6%. Определите простую процентную ставку банка, наращенную сумму
Уровень инфляции за год:
Темп инфляции составит: или 53%.
Процентная ставка кредита с учетом инфляции:
r - реальная ставка доходности;
р - уровень инфляции.
Наращенная сумма возврата:
20. Фирма взяла кредит в коммерческом банке на два месяца под процентную ставку 30% годовых (без учета инфляции). Предполагаемый средний месячный уровень инфляции - 2%. Определите процентную ставку кредита с учетом инфляции и коэффициент наращения
Уровень инфляции за год:
Процентная ставка кредита (формула Фишера):
Коэффициент наращения сложных процентов:
Коэффициент наращения простых процентов:
21. Кредит в 500 тыс. руб., получен сроком на один год под номинальную процентную ставку 18% годовых. Начисление процентов ежемесячное. Ожидаемый среднемесячный уровень инфляции - 3%. Определите процентную ставку банка с учетом инфляции и наращенную сумму
Темп инфляции за год рассчитывается по формуле:
Определим процентную ставку банка с учетом инфляции:
Наращенная сумма:
22. Месячные уровни инфляции ожидаются на уровне 3%. Определите истинную процентную ставку доходности годового вклада, если банки принимают вклады под номинальные процентные ставки 40%, 50%, 60%. Проценты сложные и начисляются ежемесячно.
Уровень инфляции за год:
или 42,58% в год
Истинная процентная ставка:
где i - номинальная процентная ставка;
Истинная процентная ставка;
Уровень инфляции;
Истинная процентная ставка для номинальной ставки процента 40%:
Истинная процентная ставка для номинальной ставки процента 50%:
23. Средний месячный уровень инфляции с января по июнь 1997 г. - 5,9%. Какой должна быть годовая процентная ставка банка по депозитам, чтобы обеспечить реальную доходность вкладов 12% годовых. Проценты сложные и начисляются ежемесячно
Номинальная процентная ставка по депозит определяется по формуле:
где i - номинальная процентная ставка;
r- реальная доходность вклада;
Уровень инфляции.
24. Коммерческий банк принимал вклады от населения в первой половине 1997 г. под процентную ставку 54% годовых. Проценты начисляются ежемесячно. Средний месячный уровень инфляции - 5,9%. Определите реальную процентную ставку доходности
Реальная процентная ставка доходности определяется по формуле:
где i - номинальная процентная ставка;
r - реальная доходность вклада;
Уровень инфляции.
Происходит обесценивание вклада на 14,77%.
25. Коммерческие банки принимают вклады от населения "до востребования" под 60% годовых с ежемесячной капитализацией процентов. Определите истинную процентную ставку банка с учетом инфляции, наращенную сумму и доходность клиента от вклада в 3 тыс. руб. по истечении 1 года, если средний уровень инфляции 3,5%.
Уровень инфляции за год:
или 51,11% в год
Истинная процентная ставка:
где i - номинальная процентная ставка;
Истинная процентная ставка;
Уровень инфляции;
m - количество начислений процентов.
Истинная процентная ставка для номинальной ставки процента 60%:
Наращенная сумма депозита с ежемесячной капитализацией процентов определяется по формуле:
где S n - сумма депозита в конце периода;
S 0 - начальная сумма вклада;
n - период начисления процентов;
Истинная процентная ставка.
Доход вкладчика к концу срока составит:
где I n - доход вкладчика за период n;
n - срок депозита (в годах).
26. Рассчитайте NPV для инвестиционного проекта со следующим денежным потоком для ставки сравнения 15% годовых.
Таблица 3
Решение:
Чистая приведенная стоимость инвестиционного проекта определяется по формуле:
где CF t -- денежный приток (отток) за период t;
r -- ставка сравнения;
n -- жизненный цикл проекта.
В таблице 4 приведены расчеты, выполненные в Microsoft Excel.
Таблица 4
|
коэффициент дисконтирования |
приведенная стоимость потока |
||
Значение NPV для инвестиционного проекта получили отрицательное. Значит проект следует отвергнуть.
27. Найдите внутреннюю норму доходности (IRR) для инвестиционного проекта со следующим регулярным денежным потоком (-200, -150, 50, 100, 150, 200, 200)
Внутренняя норма доходности IRR -- это ставка дисконтирования, при которой NPV проекта равен нулю.
В таблице 5 приведены расчеты, выполненные в Microsoft Excel.
Таблица 5
|
Затраты I |
|||
Внутренняя норма доходности составляет 19%.
28. Сравните инвестиционные проекты (-50, -50, -45, 65, 85, 85, 20, 20) и (-60, -70, -50, -40, 110, 110, 110, 110), если годовая ставка процентов составляет: а) 10 % годовых; б) 15 % годовых; в) 20 % годовых.
Представленные инвестиционные проекты характеризуют собой типичный инвестиционный поток, в отрицательные платежи предшествуют положительным.
В таблице 6 приведены расчеты, выполненные в Microsoft Excel.
Инвестиционные поток (-50, -50, -45, 65, 85, 85, 20, 20)
Таблица 6
|
коэффициент дисконтирования |
приведенная стоимость потока |
коэффициент дисконтирования |
приведенная стоимость потока |
коэффициент дисконтирования |
приведенная стоимость потока |
|||||
В таблице 7 приведены расчеты, выполненные в Microsoft Excel.
Инвестиционные поток (-60, -70, -50, -40, 110, 110, 110, 110)
Таблица 7
|
коэффициент дисконтирования |
приведенная стоимость потока |
коэффициент дисконтирования |
приведенная стоимость потока |
коэффициент дисконтирования |
приведенная стоимость потока |
|||||
При ставке 10% наиболее эффективным является инвестиционный проект (-60, -70, -50, -40, 110, 110, 110, 110), т.к. NPV=66,96 PI=0,34, период окупаемости составляет 2,91
При ставке 15% наиболее эффективным является инвестиционный проект (-50, -50, -45, 65, 85, 85, 20, 20), т.к. NPV=22,26, PI=0,17, период окупаемости составляет 5,73
При ставке 20% наиболее эффективным является инвестиционный проект (-50, -50, -45, 65, 85, 85, 20, 20), т.к. NPV=2,13, PI=0,02, период окупаемости 57,71.
Список литературы
- 1. Задачи по финансовой математике: учебное пособие /П.Н. Брусов, П.П. Брусов, Н.П. Орехов, С.В. Скородулина - М.: КНОРУС, 2016 - 286 с.
- 2. Катаргин Н.В. Методы финансовых расчётов: Тексты лекций / Н.В. Катаргин - М.: Финансовый университет, кафедра «Системный анализ и Моделирование экономических процессов», 2016. - 124 с.
- 3. Кузнецов С.Б. Финансовая математика: учебное пособие / С.Б. Кузнецов; РАНХиГС, Сиб. ин-т управления - Новосибирск: Изд-во СибАГС - 2014 - 263с.
- 4. Печенежская И.А. Финансовая математика: сборник задач / И.А. Печенежская - Ростов н/Д: Феникс, 2010 - 188 с.
- 5. Финансовая математика: учебное пособие /П.Н. Брусов, П.П. Брусов, Н.П. Орехов, С.В. Скородулина - М.: КНОРУС, 2012 - 224 с.
Под наращенной суммой долга (ссуды, депозита и т.д.) понимают первоначальную сумму с начисленными процентами к концу срока. Наращенная сумма определяется умножением первоначальной суммы на множитель наращения, который показывает, во сколько раз наращенная сумма больше первоначальной:
В кредитных соглашениях иногда предусматриваются изменяющиеся во времени процентные ставки - «плавающие» ставки. Если это простые ставки, то наращенная на конец срока сумма определяется из выражения
Пример. Кредитный договор предусматривает следующий порядок начисления процентов: первый год - ставка 16%, в каждом последующем полугодии ставка повышается на 1%. Необходимо определить множитель наращения за 2,5 года:
В практических задачах иногда возникает необходимость в решении вторичных задач - определении срока наращения или размера процентной ставки в том или ином ее виде при всех прочих заданных условиях.
Продолжительность срока наращения в годах или днях может быть определена из решения уравнения:
Пример. Определим продолжительность займа в днях, для того чтобы долг, равный 1 млн руб., вырос до 1,2 млн руб., при условии, что начисляются простые проценты по ставке 25% годовых (К = 365 дней).
Аналогично может быть определена величина процентной ставки. Такая необходимость в расчете процентной ставки возникает при определении доходности заемной операции и при сравнении контрактов по их доходности в случаях, когда процентные ставки в явном виде не указаны. Аналогично первому случаю получаем
Пример. В договоре займа предусматривается погашение обя-зательства в сумме 110 млн руб. через 120 дней. Первоначальная сумма долга - 90 млн руб. Необходимо определить доходность заемной операции для заимодавца в виде годовой ставки процента. Получаем
В случае использования «плавающих» ставок сложных процентов наращенная сумма рассчитывается по формуле
Поскольку множитель наращения при простых и сложных ставках различен, то наблюдается следующая закономерность.
Если срок наращения меньше года, то
Проценты могут начисляться (капитализироваться) не один, а несколько раз в году - по полугодиям, кварталам, месяцам и
Графически такая ситуация показана на рис.
т.д. Поскольку в контрактах, как правило, оговаривается годовая ставка, то формула наращения по сложным процентам имеет вид:
Пример. Первоначальная сумма в 1 млн руб. помещается на депозит на 5 лет под сложные проценты при годовой ставке 20%. Проценты начисляются поквартально. Рассчитаем наращенную сумму:
Очевидно, чем чаще начисляются проценты, тем быстрее идет процесс наращения.
При разработке условий кредитных операций с использованием сложных процентов часто приходится решать обратные задачи - расчета продолжительности займа или кредита (срока наращения) либо процентной ставки.
При наращении по сложной годовой ставке и по номинальной ставке получаем
Пример. Определим, за какой срок (в годах) сумма, равная 75 млн руб., достигнет 200 млн при начислении процентов по сложной ставке 15% раз в год и поквартально:
Величина процентной ставки при наращении по сложным процентам будет определяться по уравнениям
Пример. Вексель куплен за 100 тыс. руб., выкупная сумма - 300 тыс. руб., срок 2,5 года. Определить уровень доходности. Получаем
Пример. Определим число лет, необходимых для увеличения первоначального капитала в 5 раз, применяя простые и сложные проценты по ставке 15% годовых: для простых процентов получаем
Еще по теме 4.3. Наращенная сумма:
- Раздел 1 "Сумма налога (сумма авансового платежа по налогу), подлежащая уплате в бюджет по данным налогоплательщика"
Рассмотрим Сложный процент (Compound Interest) – начисление процентов как на основную сумму долга, так и на начисленные ранее проценты.
Немного теории
Владелец капитала, предоставляя его на определенное время в долг, рассчитывает на получение дохода от этой сделки. Размер ожидаемого дохода зависит от трех факторов: от величины капитала, предоставляемого в кредит, от срока, на который предоставлен кредит, и от величины ссудного процента или иначе процентной ставки.
Существуют различные методы начисления процентов. Основное их различие сводится к определению исходной суммы (базы), на которую начисляются проценты. Эта сумма может оставаться постоянной в течение всего периода или меняться. В зависимости от этого различают метод начисления по и сложным процентам.
При использовании сложных ставок процентов процентные деньги, начисленные после каждого периода начисления, присоединяются к сумме долга. Таким образом, база для начисления сложных процентов в отличие от использования изменяется в каждом периоде начисления. Присоединение начисленных процентов к сумме, которая послужила базой для их начисления, называется капитализацией процентов. Иногда этот метод называют «процент на процент».
В файле примера приведен график для сравнения наращенной суммы с использованием простых и сложных процентов.
В этой статье рассмотрим начисление по сложным процентам в случае постоянной ставки. О переменной ставке в случае сложных процентов .
Начисление процентов 1 раз в год
Пусть первоначальная сумма вклада равна Р, тогда через один год сумма вклада с присоединенными процентами составит =Р*(1+i), через 2 года =P*(1+i)*(1+i)=P*(1+i)^2, через n лет – P*(1+i)^n. Таким образом, получим формулу наращения для сложных процентов:
S = Р*(1+i)^n
где S - наращенная сумма,
i - годовая ставка,
n - срок ссуды в годах,
(1+ i)^n - множитель наращения.
В рассмотренном выше случае капитализация производится 1 раз в год.
При капитализации m раз в год формула наращения для сложных процентов выглядит так:
S = Р*(1+i/m)^(n*m)
i/m – это ставка за период.
На практике обычно используют дискретные проценты (проценты, начисляемые за одинаковые интервалы времени: год (m=1), полугодие (m=2), квартал (m=4), месяц (m=12)).
В MS EXCEL вычислить наращенную сумму к концу срока вклада по сложным процентам можно разными способами.
Рассмотрим задачу : Пусть первоначальная сумма вклада равна 20т.р., годовая ставка = 15%, срок вклада 12 мес. Капитализация производится ежемесячно в конце периода.
Способ 1. Вычисление с помощью таблицы с формулами
Это самый трудоемкий способ, но зато самый наглядный. Он заключается в том, чтобы последовательно вычислить величину вклада на конец каждого периода.
В файле примера
это реализовано на листе Постоянная ставка
.
За первый период будут начислены проценты в сумме =20000*(15%/12)
, т.к. капитализация производится ежемесячно, а в году, как известно, 12 мес.
При начислении процентов за второй период, в качестве базы, на которую начисляются %, необходимо брать не начальную сумму вклада, а сумму вклада в конце первого периода (или начале второго). И так далее все 12 периодов.
Способ 2. Вычисление с помощью формулы Наращенных процентов
Подставим в формулу наращенной суммы S = Р*(1+i)^n значения из задачи.
S = 20000*(1+15%/12)^12
Необходимо помнить, что в качестве процентной ставки нужно указывать ставку за период (период капитализации).
Другой вариант записи формулы – через функцию СТЕПЕНЬ()
=20000*СТЕПЕНЬ(1+15%/12; 12)
Способ 3. Вычисление с помощью функции БС().
Функция БС()
позволяет определить инвестиции при условии периодических равных платежей и постоянной процентной ставки, т.е. она предназначена прежде всего для расчетов в случае . Однако, опустив 3-й параметр (ПЛТ=0), можно ее использовать и для расчета сложных процентов.
=-БС(15%/12;12;;20000)
Или так =-БС(15%/12;12;0;20000;0)
Примечание . В случае переменной ставки для нахождения Будущей стоимости по методу сложных процентов БЗРАСПИС() .
Определяем сумму начисленных процентов
Рассмотрим задачу: Клиент банка положил на депозит 150 000 р. на 5 лет с ежегодным начислением сложных процентов по ставке 12 % годовых. Определить сумму начисленных процентов.
Сумма начисленных процентов I равна разности между величиной наращенной суммы S и начальной суммой Р. Используя формулу для определения наращенной суммы S = Р*(1+i)^n, получим:
I = S – P= Р*(1+i)^n – Р=P*((1+i)^n –1)=150000*((1+12%)^5-1)
Результат: 114 351,25р.
Для сравнения: начисление по простой ставке даст результат 90 000р. (см. файл примера
).
Определяем Срок долга
Рассмотрим задачу: Клиент банка положил на депозит некую сумму с ежегодным начислением сложных процентов по ставке 12 % годовых. Через какой срок сумма вклада удвоится?
Логарифмируя обе части уравнения S = Р*(1+i)^n, решим его относительно неизвестного параметра n.
В файле примера приведено решение, ответ 6,12 лет.
Вычисляем ставку сложных процентов
Рассмотрим задачу: Клиент банка положил на депозит 150 000 р. с ежегодным начислением сложных процентов. При какой годовой ставке сумма вклада удвоится через 5 лет?
В файле примера приведено решение, ответ 14,87%.
Примечание . Об эффективной ставке процентов .
Учет (дисконтирование) по сложным процентам
Дисконтирование основывается на базе концепции стоимости денег во времени: деньги, доступные в настоящее время, стоят больше, чем та же самая сумма в будущем, вследствие их потенциала обеспечить доход.
Рассмотрим 2 вида учета: математический и банковский.
Математический учет
. В этом случае решается задача обратная наращению по сложным процентам, т.е. вычисления производятся по формуле Р=S/(1+i)^n
Величину Р, полученную дисконтированием S, называют современной, или текущей стоимостью, или приведенной величиной S.
Суммы Р и S эквивалентны в том смысле, что платеж в сумме S через n лет равноценен сумме Р, выплачиваемой в настоящий момент. Здесь разность D = S - P называется дисконтом.
Пример
. Через 7 лет страхователю будет выплачена сумма 2000000 руб. Определить современную стоимость суммы при условии, что применяется ставка сложных процентов в 15% годовых.
Другими словами, известно:
n = 7 лет,
S = 2 000 000 руб.,
i = 15% .
Решение. P = 2000000/(1+15%)^7
Значение текущей стоимости будет меньше, т.к. открыв сегодня
вклад на сумму Р с ежегодной капитализацией по ставке 15% мы получим через 7 лет сумму 2 млн. руб.
Тот же результат можно получить с помощью формулы =ПС(15%;7;;-2000000;1)
Функция ПС()
возвращает приведенную (к текущему моменту) стоимость инвестиции и .
Банковский учет
. В этом случае предполагается использование сложной учетной ставки. Дисконтирование по сложной учетной ставке осуществляется по формуле:
Р = S*(1- dсл)^n
где dcл - сложная годовая учетная ставка.
При использовании сложной учетной ставки процесс дисконтирования происходит с прогрессирующим замедлением, так как учетная ставка каждый раз применяется к сумме, уменьшенной за предыдущий период на величину дисконта.
Сравнив формулу наращения для сложных процентов S = Р*(1+i)^n и формулу дисконтирования по сложной учетной ставке Р = S*(1- dсл)^n придем к выводу, что заменив знак у ставки на противоположный, мы можем для расчета дисконтированной величины использовать все три способа вычисления наращения по сложным процентам, рассмотренные в разделе статьи Начисление процентов несколько раз в год .
Похожие статьи
