Простейшим видом финансовой сделки является однократное предоставление в долг некоторой суммы PV с условием, что через некоторое время t будет возвращена большая сумма FV. Как известно, результативность подобной сделки может быть охарактеризована двояко: либо с помощью абсолютного показателя - прироста (FV - PV), либо путем расчета некоторого относительно показателя. Абсолютные показатели чаще всего не подходят для подобной оценки ввиду их несопоставимости в пространственно-временном аспекте. Поэтому пользуются специальным коэффициентом - ставкой.

Этот показатель рассчитывается отношением приращения исходной суммы к базовой величине, в качестве которой можно брать либо PV либо FV. Таким образом, ставка рассчитывается по одной из двух формул:

темп прироста ("процентная ставка ", "процент ", "рост ", "ставка процента ", "норма прибыли ", "доходность ")

темп снижения (учетная ставка ", "дисконт ", "коэффициент дисконтирования ")

Очевидно, что обе ставки взаимосвязаны, т.е. зная один показатель, можно рассчитать другой:

Оба показателя могут выражаться либо в долях единицы, либо в процентах. Различие в этих формулах состоит в том, какая величина берется за базу сравнения: в формуле (Матем. 1) - исходная сумма, в формуле (Матем. 2) - возвращаемая сумма.

Очевидно, что r t > d t, а степень расхождения зависит от уровня процентных ставок, имеющих место в конкретный момент времени.

В прогнозных расчетах, например, при оценке инвестиционных проектов, как правило имеют дело с процентной ставкой, хотя обычно это не оговаривается. Объяснение этому может быть, например, таким.

1) Во-первых, анализ инвестиционных проектов, основанный на формализованных алгоритмах, может выполняться лишь в относительно стабильной экономике, когда уровни процентных ставок невелики и сравнительно предсказуемы в том смысле, что их значения не могут измениться в несколько раз или на порядок. Если вероятна значительная вариабельность процентных ставок, должны применяться другие методы анализа и принятия решений, основанные, главным образом, на неформализованных критериях. При разумных значениях ставок расхождения между процентной и дисконтной ставками, как мы видели, относительно невелики и потому в прогнозных расчетах вполне может быть использована любая из них.

2) Во-вторых, прогнозные расчеты не требуют какой-то повышенной точности, поскольку результатами таких расчетов являются ориентиры, а не "точные" оценки. Поэтому, исходя из логики подобных расчетов, предполагающих их многовариантность, а также использование вероятностных оценок и имитационных моделей, излишняя точность не требуется.

Итак, в любой простейшей финансовой сделке всегда присутствуют три величины, две из которых заданы, а одна является искомой.

Процесс, в котором заданы исходная сумма и процентная ставка, в финансовых вычислениях называется процессом наращения . Процесс, в котором заданы ожидаемая в будущем к получению (возвращаемая) сумма и коэффициент дисконтирования, называется процессом дисконтирования . В первом случае речь идет о движении денежного потока от настоящего к будущему, во втором - о движении от будущего к настоящему (см. рис.).

Экономический смысл финансовой операции, задаваемой формулой (Матем. 1), состоит в определении величины той суммы, которой будет или желает располагать инвестор по окончании этой операции. Поскольку из формулы (Матем. 1):

то видно, что время генерирует деньги.

Величина FV показывает как бы будущую стоимость "сегодняшней" величины PV при заданном уровне доходности.

Экономический смысл дисконтирования заключается во временном упорядочении денежных потоков различных временных периодов. Коэффициент дисконтирования показывает, какой ежегодный процент возврата хочет (или может) иметь инвестор на инвестируемый им капитал. В этом случае искомая величина PV показывает как бы текущую, "сегодняшнюю" стоимость будущей величины FV.

Предыдущая

I. Процессы наращения и дисконтирования в финансовых операциях.

1.1 Процентная ставка

Простейшие и самые распространенные финансовые операции связаны с кредитом. Если вы хотите занять деньги, то идете в банк. Банк даст вам деньги с определенными условиями возврата, которые включают величину, способы возврата и время возврата денег. Если вы предоставляете свой капитал на определенное время, то тоже указываете в договоре величину, способы возврата и время возврата денег. При заключении финансового договора кредитор и заемщик договариваются о величине процентной ставки . Процентная ставка (rate of interest) является одной из основных характеристик кредитных, финансовых, коммерческих и инвестиционных контрактов. Процентная ставка – одно из основных финансовых понятий.

Процентная ставка учитывает фактор времени. В контрактах обязательно указывается сроки, периоды выплаты денег.

Фраза «доллар сегодня дороже, чем доллар завтра», отражает основной принцип неравноценности денег, относящихся к разным моментам времени (time-value of many). Имеющуюся сегодня сумму можно инвестировать и получить в будущем доход, и сегодняшние 1000 руб. имеют большую ценность чем те же 1000 руб. через три или пять лет с учетом инфляции и рисков невозврата инвестиции (кредита). Фактор времени в долгосрочных операциях иногда оказывается важнее, чем величина суммы денег.

Процентная ставка учитывает временной интервал , который называется периодом начисления (running period). Периодом начисления может быть год, квартал, месяц, день. В практической деятельности и в статистике обычно подразумеваются годовые процентные ставки.

Процентная ставка учитывает риски финансовых операций и инфляцию . Процентная ставка является мерой эффективности (доходности) финансовой деятельности, кредитования, инвестиции, коммерческой деятельности.

Существуют различные виды процентных ставок. Ставки наращения (interest base rate), которые в зависимости от начальной суммы (базы начисления) в соответствующем периоде начисления подразделяются на простые и сложные. Учетная ставка (discount rate) – используется в операциях банковского дисконтирования, когда необходимо найти первоначальную сумму при известной конечной сумме.

Процентные ставки бывают фиксированным и плавающими. Базовая процентная ставка показывает изменяющуюся во времени базу и размер надбавки к ней (маржу). Например, межбанковская ставка LIBOR (London interbank offered rate), базовая ставка по рублевым кредитам МИБОР.

Важные для финансовой деятельности процентные ставки имеют специальное название. Это ставки рефинансирования Центрального Банка России (для США Федеральной резервной системы, далее ФРС). Ставка рефинансирования – это процентная ставка, по которой ЦБ выдает кредиты коммерческим банкам . За их изменениями внимательно следят участники финансового рынка.

Процентные ставки изменяются во времени, и зависимость от времени процентной ставки (временная структура процентной ставки) является одной их важнейших характеристик финансового рынка.

Процентные ставки выражаются либо в процентах, либо в долях единицы. Далее везде будем использовать в формулах значения процентов в виде десятичной дроби.

1.2 Процессы наращения и дисконтирования.

Процесс наращения – это увеличение первоначальной суммы денег..gif" width="21" height="24 src=">- исходная сумма, - наращенная сумма за время t или будущая сумма. Эффективность такой финансовой операции за один период Т от t = 0 до t = T рассчитывается, как доля прироста капитала к первоначальной сумме

https://pandia.ru/text/78/654/images/image006_39.gif" width="12 height=13" height="13">называется процентной ставкой за период наращения Т.

Рис.1.1. Графическое изображение процесса наращения.

Настоящее. Будущее.

Начальная (настоящая) сумма Возвращаемая (будущая)сумма

(РV-present value) (FV –future value)

https://pandia.ru/text/78/654/images/image008_33.gif" width="246" height="12"> https://pandia.ru/text/78/654/images/image009_29.gif" width="97" height="24 src=">. (1.2)

Время генерирует деньги.

Если известна возвращаемая сумма и надо найти отношение прироста к конечной сумме https://pandia.ru/text/78/654/images/image012_26.gif" width="15" height="19 src=">

дисконтирование

https://pandia.ru/text/78/654/images/image010_28.gif" width="17" height="24 src="> и первоначальной суммой долга.

https://pandia.ru/text/78/654/images/image017_20.gif" width="34" height="24">при известной величине называется дисконтированием или банковским учетом. Из (1.3) эта величина равна

. (1.5)

В финансовой практике d называется часто учетной ставкой. Учетная ставка используется тогда, когда плата за кредит (процентный доход) начисляется авансом при выдаче кредита и связана с так называемым «антисипативным» способом начисления процента. Заемщику выдается сумма, уменьшенная на величину процентного дохода, а возвращается полная сумма долга.

Из формул (1.2) и (1.5) легко найти связь между процентной ставкой r и учетной ставкой d.

https://pandia.ru/text/78/654/images/image021_20.gif" width="72" height="45 src=">..gif" width="45" height="24 src=">.gif" width="133" height="41 src=">. (1.6)

Из приведенных формул следует, что теоретическая дисконтная ставка d меньше процентной ставки r .

Наряду с банковским дисконтированием, в котором используется учетная ставка, существует и математическое дисконтирование, в котором, используется процентная ставка r . При математическом дисконтировании сумма за один период равна

https://pandia.ru/text/78/654/images/image027_17.gif" width="43 height=17" height="17">, то можно использовать приближение , в результате получим .

Выше приведенные соотношения между начальной и наращенной суммой соответствуют одному временному интервалу – периоду начисления (дисконтирования) t . Если таких периодов несколько, то в формулах наращения (1.2) и дисконтирования (1.5) появляется коэффициенты (множители) наращения и дисконтирования.

Пример 1. Фирма получила кредит на один год в размере 10 млн. руб. с условием возврата а) 15млн. руб., б) 10,5 млн. руб. Найти процентную ставку и дисконт.

а) https://pandia.ru/text/78/654/images/image031_11.gif" width="120 height=41" height="41"> в процентах r = 50%, d = 33,33%.

б) https://pandia.ru/text/78/654/images/image033_13.gif" width="140" height="44 src=">, в процентах r = 5%, d = 4,8%.

При равных наращенных и начальных суммах величина учетной ставки меньше процентной ставки. При уменьшении наращенной суммы разность между учетной и процентной ставкой уменьшается.

Пример 2. Кредит был выдан под 12% годовых. Найти начальную сумму, если возвращаемая сумма равна 650 тыс. руб.

Решение. Расчет начальной суммы можно произвести двумя способами. По методу банковского дисконтирования (1.5) начальная сумма равна

https://pandia.ru/text/78/654/images/image035_10.gif" width="97" height="44 src=">580,357 тыс. руб.

Пример 3. Сравнить наращенные проценты по процентной ставке и учетной ставке, считая их равными.

Решение. Величина наращенных процентов по процентной ставке r равна , по учетной ставке d равна , поскольку , то при равенстве r = d , учетная ставка приводит к большей величине задолженности, чем процентная ставка r.

1.3. Начисление простого процента и сложного процента.

Простой процент.

Простой процент начисляется за все время действия контракта на определенную первоначальную сумму. Этот способ начисления процентов называют “наращиванием без капитализации”. Наращенная сумма при ежегодном начислении процентов или будущая стоимость (future value) равна

https://pandia.ru/text/78/654/images/image040_8.gif" width="112" height="45 src=">, (1.9)

где https://pandia.ru/text/78/654/images/image042_7.gif" width="91" height="24"> или .

Пример 4. Кредит в размере 2 млн. руб. был выдан на 60 дней под 12% годовых. Найти наращенную сумму и процентный доход.

Решение. По формуле (1.9) найдем наращенную сумму

https://pandia.ru/text/78/654/images/image045_8.gif" width="111" height="41">=0,4 млн. руб.

Пример 5. Банк предлагает депозит с начислением на первоначальную сумму. Первые три месяца по ставке 4% годовых, в следующие три месяца процент возрастает на 0,5%. Найти наращенную сумму и процентный доход, если сумма вклада составляет 30 000руб.

Решение..gif" width="164" height="41 src=">=337,5 руб. За все шесть месяцев процентный доход равен 300+337,5=637,5 руб. Наращенная сумма равна DIV_ADBLOCK119">

Сложный процент.

Начисление сложного процента осуществляется на наращенную сумму, поэтому этот способ начисления называют «наращением с капитализацией»..gif" width="107" height="39 src=">, (1.10)

где r - годовая процентная ставка (per annual), выраженная в виде долей единицы. Величина часто бывает нецелым числом. В зависимости от внутренних правил банка для расчета наращенной суммы при дробном числе лет как формула (1.10) или применяться приближенная формула.

https://pandia.ru/text/78/654/images/image054_6.gif" width="21" height="45">, а f - дробная часть этого числа. Если начисление сложных процентов происходит m раз в году течении n лет, то расчет наращенной суммы за время производят по формуле

, (1.12)

где r – годовая процентная ставка (номинальная), https://pandia.ru/text/78/654/images/image059_10.gif" width="77" height="24 src="> – называется множителем наращения , а – коэффициентом наращения . Наращенная сумма зависит от частоты начисления процентов. Чем больше частота начисления процентов, тем больше наращенная сумма. Таким образом, для вкладчика выгоднее частое начисление процентов, а для заемщика наоборот. В кредитных контрактах и депозитных договорах , когда начисление процентов происходит по сложной процентной ставке, указывается годовая процентная ставка, которая называется номинальной.

Непрерывное начисление процентов.

Если частота начисления процентов становится непрерывной, то есть частота начисления процентов бесконечно возрастает , а временной интервал начисления становится бесконечно малым, то наращенная сумма или будущая стоимость рассчитывается по формуле

, (1.13)

где https://pandia.ru/text/78/654/images/image002_62.gif" width="12 height=23" height="23">.gif" width="79" height="41 src=">.gif" width="133" height="51 src=">, (1.14)

где – DIV_ADBLOCK120">

https://pandia.ru/text/78/654/images/image071_6.gif" width="227" height="25 src=">, (1.16)

где https://pandia.ru/text/78/654/images/image073_4.gif" width="68" height="41 src=">; (1.17)

для сложных процентов из формулы (1.12)

. (1.19)

Пример 6. Сколько лет потребуется для увеличения первоначальной суммы в 1,2 раза, если номинальная процентная ставка равна 9%, а начисление процентов происходит 4 раза в год.

Решение. По формуле (1.19) найдем необходимое число лет:

N = 1,2; m = 4, https://pandia.ru/text/78/654/images/image077_5.gif" width="13" height="13 src=">2 года.

Решение. Расчет проведем по формуле (1.12) в Excel. Результаты расчетов приведены ниже в таблице и на гистограммах ниже.

Таблица 1. Наращенные суммы и множители наращения для различной частоты начисления процентов в году .

		Частота начислений в году	Наращенная сумма	Базисное наращение	Цепное наращение
	Начальная сумма 1000

фининсовых

решений

Тема 1

Временная стоимость денег.

Операции наращения и дисконтирования

В практических финансовых операциях суммы денег вне зависимости от их назначения или происхождения, так или иначе, но обязательно связываются с конкретными моментами или периодами времени. Для этого в контрактах фиксируются соответствующие сроки, даты, периодичность выплат. Фактор времени, особенно в долгосрочных операциях, играет не меньшую, а иногда даже большую роль, чем размеры денежных сумм. Необходимость учета временного фактора вытекает из сущности финансирования и кредитования и выражается в принципе неравноценности денег, относящихся к разным моментам времени (или стоимость денег во времени –timevalueofmoney). Очевидно, что 100 000 руб., полученных через 5 лет, не равноценны этой же сумме поступившей сегодня.

Временная стоимость денег обуславливается наличием двух причин:

1) обесценением денежной наличности с течением времени. Так, если предприятие имеет свободные денежные средства в раз­мере 10,0 млн. руб., а инфляция, то есть обесценение денег, состав­ляет 20% в год, то это означает, что уже через год, в случае если предприятие никак их не инвестирует, они уменьшатся по своей покупательной способности и составят в текущих ценах только 8 млн. руб.;

2) обращением капитала (денежных средств). Предположим, что предприятие имеет возможность участвовать в инвестиционном проекте, который может принести доход в размере 20,0 тыс. руб. по истечении двух лет. Имеется возможность выбора варианта получе­ния дохода: либо по 10 тыс. руб. по истечении каждого года, либо единовременное получение всей суммы в конце двухлетнего периода. Очевидно, что второй вариант получения доходов менее выгоден по сравнению с первым, так как сумма, полученная в конце первого года, может принести дополнительные доходы.

(В Индии, на химическом заводе американской компании, произошла крупная авария. В качестве компенсации пострадавшим первоначально предложили выплатить 200 млн. долл. в течение 35 лет. Предложение было отклонено. Для иллюстрации влияния фактора времени скажем, что 57,6 млн. долл. в банк под 10% годовых обеспечит последовательную выплату 200 млн. долл. Т.е. 57.6 млн. выплаченных сегодня равнозначны 200 млн. долл. погашаемым ежемесячно в равных долях)

Простейшим видом финансовой операции является однократ­ное предоставление в долг некоторой суммы PV(presentvalue) с условием, что через какое-то времяtбудет возвращена большая суммаFV(futurevalue).

Результативность подобной сделки может быть охарактеризо­вана двояко: либо с помощью абсолютного показателя либо путем расчета некоторого относительного показателя.

Абсолютным показателем является разность I=FV-PV, которая называется процентом (interest) или суммой процентных денег. Это величина дохода от предоставления в долг денежной суммы PV.

Однако для оценки эффективности финансовых операций абсолютные пока­затели мало применимы ввиду их несопоставимости. Поэтому пользуются специальным коэффициентом – став­кой .

Под процентной ставкой (rate of interest) – понимается относительная величина дохода за фиксированный отрезок времени, т.е. отношение дохода (процентных денег) к сумме долга за единицу времени.

Временной интервал, которому соответствует процентная ставка, называют периодом начисления (год, полугодие, квартал, месяц, даже день).

Размер процентной ставки зависит от ряда объективных и субъективных факторов: общего состояния экономики, в том числе денежно кредитного рынка, кратковременных и долгосрочных ожиданий его динамики, вида сделки, ее валюты, срока кредита и т.д.

В общем виде процентная ставка может быть представлена как сумма четырех основных компонент, определяющих величину r :

r = i + f + E + g

где i – норма процента, отражающая компенсацию кредитору за от­каз использовать в других целях предоставленную сумму в течение времениt (пока не вернут долг);

f – так называемый фактор риска (эффект Фишера), представ­ляющий собой для кредитора компенсацию за неопределенность (риск) неполучения процентов или всей суммы вообще при наступле­нии срока возврата долга;

Е – инфляционная добавка, т.е. компенсация за возможное из­менение в уровне цен, за уменьшение покупательной способности де­нег вследствие инфляции;

g – компенсация, зависящая от продолжительности срока, на который ссужены деньги, и тем большая, чем длительнее этот срок.

В финансовом анализе процентная ставка применяется не только как инструмент наращения суммы долга, но и в более широком смысле – как измеритель степени доходности (эффективности) любой финансовой операции), независимо от того имел место или нет факт выдачи денег в долг и процесс наращения этой суммы.

Существует два принципа расчета процентов – наращение на сумму долга и скидка с конечной суммы задолженности. Соответственно применяют ставку наращения (interest base rate) и учетную ставку (discount base rate). Оба вида ставок применяются для решения сходных задач. Однако для ставки наращения прямой задачей является определение наращенной суммы, обратной дисконтирование. Для учетной ставки наоборот, прямая задача заключается в дисконтировании, обратная - в наращении.

Для расчета процентной ставки используется сле­дующая формула:

Для расчета учетной ставки используется сле­дующая формула:

Оба вышеназванных показателя взаимосвязаны между собой, т.е. зная один показатель можно рассчитать и другой:

Оба показателя могут выражаться либо в десятичных дробях, либо в процентах.

Из определения показателей следует, что r › 0 и 0 ‹ d ‹ 1. Слу­чай, когдаr = 0 иd = 0, не рассматривается, так как тогдаFV = PV , т.е. можно считать, что финансовой сделки как таковой просто нет. Случай, когдаd = 1 соответствует PV = 0 , т.е. не предоставляется ни­какая сумма в долг, а через некоторое время получаем FV .

Степень расхождения между d(t) иr(t) зависит от уровня процентных ставок, имеющих место в конкретный момент времени. Так, еслиr = 7% , тоd = 6,54 , т.е. расхождение сравнительно невелико. Однако, еслиr = 70% , тоd = 41,18%, т.е. ставки существенно различаются по величине.

В прогнозных расчетах, например, при оценке инвестиционных проектов, как правило, имеют дело с процентной ставкой. Учетная ставка в основном используется в банковских операциях по учету векселей.

Процесс, в котором заданы исходная сумма и процентная ставка, в финансовых вычислениях называется процессом нараще­ния (компаундинг). Причем величинаFV показывает будущую стоимость «сего­дняшней» величиныPV при заданном уровне доходности.

Процесс, в котором заданы ожидаемая в будущем к получению (или возвращаемая) сумма и коэффициент дисконтирования, называ­ется процессом дисконтирования . Экономический смысл дисконтирования заключается во вре­менном упорядочении денежных потоков различных временных пе­риодов. При этом случае искомая величинаPV показывает текущую, «сегодняшнюю» стоимость будущей величиныFV.

В первом случае речь идет о движении денежного потока от на­стоящего к будущему, а во втором – о движении от будущего к на­стоящему.

Логика финансовых операций представлена на рис. 1.

Настоящее Будущее

Исходная сумма

Наращение Возвращаемая сумма

Процентная ставка

Ожидаемая к поступлению сумма

Приведенная сумма Дисконтирование

Коэффициент дисконти­рования

Рис. 1. Логика финансовых операций

Экономический смысл финансовой операции, которая пред­ставляется формулой (1), состоит в определении величины той суммы, которой будет или желает располагать инвестор по окончании этой операции. Поскольку из формулы (1) следует, что FV = PV * (1 + r t ) , то FV › PV (так как (1 +r t) › 1), т.е. время генерирует деньги.

Естественно, такой же вывод можно сделать, используя фор­мулу (2), так как из нее следует, что PV = FV *(1 – d t ) , и справедливо нера­венство1 – d ‹ 1.

Как уже отмечалось выше, в качестве ставки наращения может вы­ступать как процентная, так и учетная ставка. Если наращенная сумма находится по формуле FV = PV *(1 + r t ) , то ставкой наращения является процентная ставка. С другой стороны, из формулыPV = FV *(1 – d ) следует, что наращен­ную сумму можно определять по формуле:

Поэтому в этом случае ставкой наращения является учетная ставка. Учетная ставка используется для наращения в случае учета векселя в банке, если рассматривать эту операцию с позиции банка.

Аналогичные рассуждения можно высказать и в связи с процессом дисконтирования. Если приведенная сумма находится по формуле PV = FV *(1 – d ) , то в качестве ставки приведения выступает учетная ставка. С дру­гой стороны, из формулыFV = PV *(1 + r ) следует, что приведенную сумму можно определить также по формуле. В этом случае в качестве ставки дисконтирования выступает процентная ставка.

Тема 3. Основы финансовой математики

3.1. Временная ценность денег.

3.2. Операции наращения и дисконтирования.

3.3. Процентные ставки и методы начисления. Понятие простого и сложного процента.

3.4. Виды денежных потоков.

3.5. Оценка денежного потока с неравными поступлениями.

3.6. Оценка аннуитетов.

3.7. Анализ доступности ресурсов к потреблению в условиях рынка.

Временная ценность денег.

Временную ценность денег рассматривается в двух аспектах.

Первый аспект связан с обесценением денежной наличности с тече­нием времени. Представим, что предприятие имеет свободные денеж­ные средства в размере 15 тыс. руб., а инфляция составляет 20% в год (т.е. цены увеличиваются в 1,2 раза). Это означает, что уже в следующем году, если хранить деньги «в чулке», они уменьшатся по своей покупательной способности и составят в ценах текущего дня лишь 12,5 тыс. руб.

Второй аспект связан с обращением капитала (денежных средств). Для понимания существа дела рассмотрим простейший пример.

Предприятие имеет возможность участвовать в некоторой дело­вой операции, которая принесет доход в размере 10 тыс. руб. по исте­чении двух лет. Предлагается выбрать вариант получения доходов: либо по 5 тыс. руб. по истечении каждого года, либо единовременное по­лучение всей суммы в конце двухлетнего периода.

Даже на житейском уровне очевидно, что второй вариант получе­ния доходов явно невыгоден по сравнению с первым. Это проистека­ет из того, что сумма, полученная в конце первого года, может быть вновь пушена в оборот и, таким образом, принесет дополнительные доходы.

Операции наращения и дисконтирования

Простейшим видом финансовой сделки является однократное предоставление в долг некоторой суммы РV с условием, что через некоторое время t будет возвращена большая сум­ма FV. Результативность подобной сделки может быть охарактеризована двояко: либо с помощью абсолютного показателя - прироста (FV - PV), либо путем расчета некоторого относительного показателя. Абсолютные показатели чаще всего не подходят для по­добной оценки ввиду их несопоставимости в пространственно-времен­ном аспекте. Поэтому пользуются специальным коэффициентом - ставкой. Этот показатель рассчитывается отношением приращения ис­ходной суммы к базовой величине, в качестве которой, очевидно, мож­но взять либо РV, либо FV.

2 формулы расчета ставки:

r t = FV – PV (1)

d t = FV – PV (2)

В финансовых вычислениях первый показатель имеет еще назва­ния «процентная ставка», «процент», «рост», «ставка процента», «норма прибыли», «доходность», а второй - «учетная ставка», «дисконт».

Оче­видно, что обе ставки взаимосвязаны, т.е. зная один показатель, мож­но рассчитать другой:

r t = d t

d t = r t

d t -дисконт, r t - учетная ставка

Оба показателя могут выражаться либо в долях единицы, либо в процентах. Различие в этих формулах состоит в том, какая величина берется за базу сравнения: в формуле (1)-исходная сумма, в форму­ле (2) - возвращаемая сумма.

Процесс, в котором заданы исходная сумма и ставка (процентная или учетная), в финансовых вычислениях называется процессом на­ращения, искомая величина - наращенной суммой, ставкой наращения. Процесс, в котором заданы ожидаемая в будущем к получению (возвращаемая) сумма и ставка, называется процессом дисконтирования, искомая величина - приве­денной суммой, а используемая в операции ставка - ставкой дискон­тирования. В первом случае речь идет о движении денежного потока от настоящего к будущему, во втором - о движении от будущего к на­стоящему (рис. 1).

НАСТОЯЩЕЕ БУДУЩЕЕ

Рис. 1 Логика финансовых операций

Экономический смысл финансовой операции, задаваемой форму­лой состоит в определении величины той суммы, которой будет или желает располагать инвестор по окончании этой операции. Из формулы (3)

FV = PV + РУ *r t ,

Разность I = FV - PV называется процентом. Это величина дохо­да от предоставления в долг денежной суммы PV.

На практике доходность является величиной непостоянной, зави­сящей главным образом от степени риска, ассоциируемого с данным видом бизнеса, в который сделано инвестирование капитала. Связь здесь прямо пропорциональная - чем рискованнее бизнес, тем выше значение доходности. Наименее рискованны вложения в государствен­ные ценные бумаги или в государственный банк, однако доходность операции в этом случае относительно невысока.

Величина FV показывает как бы будущую стоимость «сегодняш­ней» величины PV при заданном уровне доходности.

Экономический смысл дисконтирования заключается во времен­ном упорядочении денежных потоков различных временных перио­дов. Одна из интерпретаций ставки, используемой для дисконтирова­ния, такова: ставка показывает, какой ежегодный процент возврата хочет (или может) иметь инвестор на инвестируемый им капитал. В этом случае искомая величина PV показывает как бы текущую, «сегод­няшнюю» стоимость будущей величины FV.

Предприятие получило кредит на один год в размере 5 тыс. руб. с условием возврата 10 тыс. руб. В этом случае процентная ставка рав­на 100%, а дисконт - 50%.

Инвестиционном анализе

Логика построения основных алгоритмов достаточно понятна и основана на следующей идее. Простейшим видом финансовой сделки является однократное предоставление в долг некоторой суммы (PV) с условием, что через некоторое время t будет возвращена сумма FV. Эффективность подобной сделки может быть охарактеризована одной из двух величин:

темп прироста:

темп снижения:

.

В финансовых расчётах первый показатель () имеет ещё название «процент», «рост», «ставка процента», «норма доходности», а второй – «дисконт», «ставка дисконтирования», «коэффициент дисконтирования». Очевидно, что обе ставки взаимосвязаны:

Оба показателя могут выражаться либо в долях единицы, либо в процентах. Различие в этих формулах состоит в том, какая величина берётся за базу сравнения: в формуле (8.2) – исходная сумма, в формуле (8.3) – возвращаемая сумма.

Итак, в любой простейшей финансовой сделке всегда присутствуют три величины, две из которых заданы, а одна является искомой.

Процесс, в котором заданы исходная сумма и процентная ставка, в финансовых вычислениях называется процессом наращения или компаундинга. Процесс, в котором задана возвращаемая сумма и коэффициент дисконти-рования, называется процессом дисконтирования. В первом случае речь идёт о движении денежного потока от настоящего к будущему, во втором – о движении от будущего к настоящему (см. рис. 19).

Экономический смысл финансовой операции, задаваемой формулой (8.2), состоит в определении величины той суммы, которой будет или желает располагать инвестор по окончании этой операции.

Поскольку из формулы (8.2)

,

и , то можно наглядно представить, что время генерирует деньги.

Будущее

Наращивание

Процентная ставка r(t)

Возвращаемая сумма (FV)

Исходная сумма (PV)

Настоящее

Возвращаемая сумма (FV)

Приведенная сумма (исходная) (PV)

Дисконтирование

Дисконтная ставка

Рис. 19. Логика финансовых операций

На практике норма доходности является величиной непостоянной, зависящей главным образом от степени риска, ассоциируемого с данным видом бизнеса, в который инвестирован капитал (чем выше степень риска, тем выше норма доходности). К примеру, наименее рискованными являются вложения в государственные ценные бумаги или в Госбанк, однако норма доходности в этом случае относительно невысока.

Коэффициент дисконтирования показывает, какой ежегодный процент возврата хочет (или может) иметь инвестор на инвестируемый им капитал. При этом искомая величина (PV) показывает как бы текущую, «сегодняшнюю» стоимость будущей величины (FV).

Дисконт, связанный с суммовыми величинами (формула 8.3), исполь-зуется главным образом в операциях по учёту векселей банком, т. е. в том случае, если владелец векселя на сумму FV предъявляет его банку, который соглашается учесть его, т. е. купить, удерживая в свою пользу часть вексельной суммы, нередко также называемой дисконтом. В этом случае банк предлагает владельцу сумму (PV), исчисляемую исходя из объявленной банком ставки дисконтирования (). Расчёт этой суммы ведётся по формуле, вытекающей из формулы 8.3:

;

.

К примеру, векселедержатель предъявил для учёта вексель на сумму 10 тыс. грн. со сроком погашения 15.04.2000 г. Вексель предъявлен 31.03.2000г. Банк согласился учесть вексель с дисконтом в 65 % годовых. Тогда дисконтная ставка на 15 дней составит (15/360)·0.65=0,027083. Следовательно, сумма, которую векселедержатель может получить от банка, рассчитывается по формуле (8.4):

PV=10 · (1 – 0,027083) = 9,72917 тыс. грн.

Комиссионные, удерживаемые банком в свою пользу за предоставленную услугу, в данном примере составили разницу между FV и PV или 270 грн. 83 коп.

FV–PV=10–9,72917=0,27083 тыс. грн.

Стандартным временным интервалом в финансовых операциях является 1 год. Существует две основные схемы наращения капитала:

схема простых процентов;

схема сложных процентов.

Если исходный инвестируемый капитал равен P, а требуемая норма доходности за 1 год – r (как коэффициент в долях единицы от начальной суммы Р), тогда считается, что инвестиция сделана на условиях простого процента, если инвестированный капитал ежегодно увеличивается на величину (P·r). Таким образом, размер инвестиционного капитала через n лет Pn будет равен:

Если очередной годовой доход исчисляется не с исходной величины инвестированного капитала, а с общей суммы, включающей также и ранее начисленные и не востребованные инвестором проценты, то в этом случае инвестиция сделана на условиях сложного процента. В этом случае размер инвестированного капитала будет равен:

к концу первого, второго и n-ного года:

.

Инвестирование на условиях сложного процента более выгодно, т. к.

или Pn на условиях простого процента меньше Pn на условиях сложного процента при n > 1.

В первом случае, при применении простого процента, доходы, по мере их начисления, целесообразно снимать для потребления или новой инвестиции, а во втором случае, при использовании сложного процента, инвестированный капитал непрерывно генерирует доходы и постоянно возрастает и не возникает объективная необходимость изъятия начисленных процентов для использова-ния в других инвестиционных проектах.

Формула 8.6 является базовой в финансовых вычислениях. Для удобства пользования ею значения факторного множителя (FM), обеспечивающего наращение стоимости, табулированы для различных значений r и n. При пользовании такими таблицами формула 8.6 имеет вид:

,

где – факторный множитель, экономический смысл кото-рого состоит в следующем: он показывает, чему будет равна одна денежная единица (1 гривня, 1 доллар и т. п.) через n периодов при заданной процентной ставке r на каждый из этих периодов.

Схема простых процентов используется в практике банковских расчётов при начислении процентов по краткосрочным ссудам (со сроком погашения до 1 года).

К примеру, выдана ссуда в размере 10 тыс. грн. на один месяц (30 дней) под 130 % годовых. Тогда размер платежа к погашению составит:

Норма доходности в долях единицы составит на один год (360 дней). На 30 дней норма доходности должна составить ,

где – норма доходности на один день:

Тыс. грн.

В практике вложений нередко используются внутригодовые процентные начисления, т. е. при выплате дивидендов на вложенный капитал нередко оговаривается не только величина годового процента, но и частота выплаты в течение года. В этом случае расчет ведётся по формуле сложных процентов по подинтервалам и по ставке, равной пропорциональной доле исходной годовой ставки:

,

где m – количество начислений в году,

n – период реализации инвестиций, лет.

К примеру, в банковский депозит вложены деньги в сумме 10 тыс. грн. на 2 года с полугодовыми начислениями процентов под 20 % годовых. В этом случае начисление процентов производится 4 раза (2 раза в год в течение 2 лет) по ставке 10 % на полугодие (20 % : 2).

Если воспользоваться формулой 8.7, то сумма к концу двухлетнего периода составила бы:

тыс. грн.,

где 0,20/2 – норма доходности в долях единицы в расчёте на одно полугодие.

Можно сделать вывод, что чем чаще начисляются проценты, тем большая будет итоговая сумма при использовании формулы сложных процентов (т. е. в этом случае 12 % годовых не эквивалентны 1 % в месяц, а несколько больше при помесячном их начислении по формуле сложных процентов).

Наращение суммы к исходной инвестиции (вложению) происходит различными темпами в зависимости от частоты начисления процентов, причём с возрастанием частоты накопления сумма увеличивается.

Максимально возможное наращение реализуется при бесконечном дроблении годового интервала.

,

(это важнейшая постоянная математического анализа, относящаяся к группе замечательных пределов – трансцендентное число e = 2,718281, одновременно является основанием натурального логарифма).

Тогда:

.

В пределах одного года при непрерывном начислении процентов можно использовать формулу (n = 1):

Возможности использования в контрактах на инвестиции (вложения) различных схем начисления процентов определяют объективную потребность и необходимость сравнительного анализа эффективности таких вложений с использованием некого универсального показателя для любой из схем начисления.

В сравнительном анализе эффективности вложений используют показатель эффективной годовой процентной ставки , обеспечивающий переход от P к Pn при заданных значениях этих показателей.

В рамках одного года, исходя из формулы 8.7, такой переход реализуется зависимостью:

.

Тогда по определению эффективной процентной ставки:

Приравняв эти формулы, получим:

.

Можно сделать вывод, что эффективная годовая ставка зависит от количества внутригодовых начислений, с ростом которых она также увеличивается.

К примеру, у частного предпринимателя есть возможность получить ссуду на разных условиях:

1) на условиях ежеквартального начисления процентов из расчёта 80% годовых;

2) на условиях полугодового начисления процентов из расчёта 85 % годовых.

Чтобы выяснить, какой вариант более предпочтителен, необходимо рассчитать относительные расходы предпринимателя по обслуживанию ссуды, величина которых оценивается эффективной годовой процентной ставкой. Чем она ниже, тем более предпочтителен вариант (относительные расходы самые маленькие):

;

.

Из расчётов следует, что второй вариант является более предпочтительным.

У предпринимателя всегда есть выбор, куда вложить свободные денежные средства. Такой выбор всегда является выбором того вида бизнеса, вложение средств в который принесёт максимальный доход. При оценке целесообразности таких вложений исходят из того, явится ли такое вложение более прибыльным (при допустимом уровне риска), чем вложения в государственные ценные бумаги, или наоборот, т. е. анализируют будущие доходы при минимальном («безопасном») уровне доходности.

Для этого используют несложные математические методы, основная идея которых заключается в оценке будущих поступлений P n (в виде прибыли, процентов, дивидендов) с позиции текущего момента.

Похожие статьи